Меню

  • На главную

Поиск

  • Смешанные пространственные задачи статики упругого тела

    Posted 12/24/2009 в 7:44:10 ПП

    Под смешанными краевыми задачами математической теории упругости обычно понимают такие задачи упругого равновесия, когда на поверхности тела расположены линии раздела граничных условий различных типов. Если поверхность рассматриваемого упругого тела состоит из нескольких гладких граней, то могут представиться два основных качественно различных варианта смешанных задач.
    1) В пределах каждой грани тип краевых условий не меняется. Простейшими примерами таких смешанных задач являются равновесие упругого слоя, на одной грани которого заданы напряжения, а на другой перемещения, а также аналогичные задачи для клина, полого цилиндра, конуса и др. Решения указанных конкретных задач можно получить по методу интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и т. п. Как указано Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым (1966), общие проблемы подобного типа в принципе сводятся к бесконечным системам уравнений. Эти задачи в настоящем обзоре не затрагиваются.
    2) Хотя бы на одной из граней тела имеется линия раздела краевых условий различного вида. Проблемы этого типа, сводящиеся, вообще говоря, к интегральным уравнениям, мы предполагаем здесь разобрать более детально, так как именно они дали толчок для развития, главным образом в* СССР, разнообразных методов решения многих важных смешанных задач теории потенциала и теории упругости. Вместе с тем к подобным смешанным задачам относится ряд прикладных вопросов и, в частности, контактные задачи и некоторые задачи о концентрации напряжений.
    К настоящему времени наиболее детально изучены контактные задачи для упругого полупространства, деформируемого жестким штампом, круговым или эллиптическим в плане. Впервые подобная задача рассматривалась еще Ж. Буссинеском для случая осевого вдавливания без трения кругового цилиндра. К этой же категории задач относится классическая проблема Г. Герца о сжатии упругих тел в таких условиях, когда площадка контакта оказывается эллипсом. В дальнейшее развитие этого круга вопросов весьма существенный вклад внесли советские ученые. А. Н. Динник (1909) и Н. М. Беляев (1924) провели вычисление напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых годах. В. А. Абрамов (1939 и А. И. Лурье (1940) дали решение контактных задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе. Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерма-ном (1939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения, а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа. В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах М. Я. Леонова (1939, 1940) и Л. А. Галина (1946, 1947) дано дальнейшее обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана (1949), Л. А. Галина (1953), А. И. Лурье (1955), а также в обзорных статьях Д. И. Шермана (1950) и Г. С. Шапиро (1950), в которых имеются ссылки на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор.
    В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области S граничной плоскости z = 0 известно нормальное перемещение uz = / (х, у)7 а вне S (в области S') задано нормальное напряжение az = а (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о* == 0, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в S, причем в области S' известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие: применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье); построение и использование функции Грина (Л. А. Галин; М. Я. Леонов, 1953); метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман; В. И. Моссаковский, 1953); использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967); метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном *), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже.

    Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин (1947) и В. Л. Рвачев (1959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полупространство клиновидного штампа; в работах Н. А. Кильчевского (1.958, 1960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом контакте с некоторой экстремальной проблемой; В. Л. Рвачев (1.956, 1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго порядка; работы Г. Я. Попова (1961, 1963) посвящены смешанным задачам для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости и квадранта; Н. М. Бородачев (1962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев (1.965) исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полого кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах А. Я. Александрова (1955), Ю. О. Аркадьевой (1962), В. С. Губенко и В. И. Моссаковского (1960), К. И. Егорова (1.963), Г. Я. Попова (1967). За последние годы наметился еще один подход к этой и сходным с нею задачам, основанный на использовании парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Мелера — Фока (В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко, 1963; А. А. Баблоян, 1964; А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1965—1967), а также на применении тройных интегральных уравнений *) (Н. М. Бородачев и Ф. Н. Бородачева, 1966). Указанные методы позволяют получить эффективные приближения, основанные на численном решении интегральных уравнений Фредгольма.
    В советской литературе было опубликовано большое число работ, посвященных смешанным задачам, связанным с вопросами изгиба балок и плит на упругом основании. Укажем здесь только на исследования А. Г. Ишковой (1947), М. Я. Леонова (1939) и В. А. Пальмова (1960), относящиеся к изгибу круглой плиты на упругом полупространстве, а также на монографии М. И. Горбунова-Посадова (1953) и Б. Г. Коренева (1954, 1.960). Итоги многих работ этого направления и большую библиографию читатель найдет в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева (1966).
    Наряду с контактными задачами, рассмотренные выше смешанные задачи теории потенциала для полупространства могут быть трактованы как задачи о деформации неограниченного упругого тела, ослабленного плоской щелью, занимающей область S (или S'). Действительно, в случае загружения берегов щели, симметричного относительно ее плоскости, достаточно рассмотреть полупространство, на границе которого в области S (или S') заданы напряжения, а вне ее отсутствуют касательные напряжения и нормальное перемещение. В случае антисимметричного загружения даже для круговой щели возникают некоторые дополнительные трудности, разрешенные в работах В. И. Моссаковского (1955) и Я. С. Уфлянда (1967), причем в последней работе эта задача рассмотрена как частный случай общей смешанной задачи, когда на всей границе полупространства задано нормальное напряжение, в области S (S') известно касательное смещение, а в области S' (S) заданы касательные напряжения. Интересная задача о контакте двух различных сред, на общей границе которых имеется круглая щель, решена В. И. Моссаковским и М. Т. Рыбкой (1964); при этом осуществляется обобщение известного критерия Гриффита — Снеддона на случай неоднородного тела (см. также статью тех же авторов, 1965). Из работ, относящихся к деформации тел со щелями, укажем еще на интересные статьи В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко (1965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина (1965), а также на работу Я. С. Уфлянда (1958), посвященную задаче о равновесии тела с плоским полубесконечным разрезом.
    В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с  помощью  интегрального  преобразования   Конторовича — Лебедева.
    Исследованию поведения напряжений вблизи краевой линии штампа, находящегося в условиях сцепления, посвящена статья Г. Н. Савина и В. Л. Рвачева (1963).

    Естественным обобщением классической задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство является контактная задача для неограниченного упругого слоя. Исследования этих вопросов интенсивно проводились в СССР в пятидесятых годах, причем, в отличие от случая полупространства, здесь уже не удавалось получить точных решений, а можно было лишь свести соответствующие задачи к интегральным уравнениям. Первой работой здесь следует считать статью Б. И. Когана (1954), в которой составлено и численно решено интегральное уравнение первого рода для контактного давления между круглым штампом и слоем, лежащим на полупространстве. Более эффективное решение сходной задачи дано Н. Н. Лебедевым и Я. С. Уфляндом (1958), которые рассматривали осевое вдавливание кругового в плане жесткого штампа в упругий слой, лежащий на жестком основании, при отсутствии трения.

    К. Е. Егоров (1960) применил сходную методику к случаю неосевого вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда (1960) и в монографии последнего (1967) дано решение общей смешанной задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания. Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. Ворович и Ю. А. Устинов (1959) получили сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (к) и разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по степеням a/h. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа, а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964; С. М. Котляр, 1964; В. И. Довнорович, 1964) решить различные контактные задачи для упругого слоя, в том числе и термоупругие. Контактные и смешанные задачи для анизотропных тел рассматривались С. Г. Лехницким (1950), Д. В. Грилицким и Я. М. Кизымой (1962, 1964), Р. Я. Сунчелеевым (1965, 1966).
    Специальный эффективный метод подхода к • контактным задачам о воздействии штампа на упругий слой, основанный на непосредственном рассмотрении интегрального уравнения для давления под штампом, был предложен В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960, 1964). Решение задачи имело вид разложения по малому параметру — отношению характерного размера штампа к толщине слоя. Существенно, что эффективные результаты при этом удалось получить не только для кругового, но и для эллиптического в плане штампа, а также для некоторых других форм основания. Указанный метод получил свое дальнейшее развитие в работах В. М. Александрова (1963, .1964, 1967) и других учеников И. И. Воро-вича (см., например, диссертацию В. А. Бабешко, 1966) и в настоящее время может считаться одним из наиболее эффективных для решения рассматриваемого класса контактных задач при произвольной величине отношения толщины слоя к характерному размеру штампа.
    Из работ, посвященных более сложным контактным проблемам, отметим статью В. С. Губенко (1960), в которой исследуется вопрос о воздействии кольцевых штампов на упругий слой, а также работу И. И. Воро-вича и В. В. Копасенко (1966) о контактной задаче для полуполосы.

    С помощью парных интегральных уравнений могут быть успешно решены задачи о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном соосными круглыми щелями, параллельными границам слоя. Простейшей задачей такого типа (Я. С. Уфлянд, 1959) является равновесие упругого слоя, содержащего в средней плоскости одну симметрично загруженную круговую щель. И. А. Маркузон (1963) исследовал этот же вопрос в связи с задачей о нахождении размеров равновесной трещины по способу Г. И. Баренблатта.
    Из других работ, относящихся к равновесию тел со щелями и отверстиями, укажем на статьи В. В. Панасюка (1960), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда (1960), Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда (1965), Ю. Н. Кузьмина (1966) и Н. В. Пальцуна (1967), а также на обзорную работу Г. Н. Савина, А. С. Космодамианского и А. Н. Гузя (1967).
    Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубесконечную жесткую обойму.В более поздних работах Б. И. Когана, А. Ф. Хрусталева и Ф. А. Вайнштейна (1958— 1965) эта методика была применена к различным смешанным задачам как для сплошного, так и для полого цилиндра, а также в случае трансверсаль-ной анизотропии. Метод решения подобных задач, основанный на сведении их к интегральному уравнению Винера — Хопфа для контактного напряжения, разработан Г. Я. Поповым (1964). Им же дано решение контактной задачи для бесконечного цилиндра с двумя симметричными участками контакта. Укажем еще на статью Г. М. Валова (1966), где с помощью парных интегральных уравнений с тригонометрическими ядрами рассмотрена задача о кручении полого бесконечного цилиндра.
    В самое последнее время было достигнуто существенное расширение области разрешимых контактных задач в связи с развитием нового аппарата парных рядов применительно к смешанным задачам для упругой сферы *). Под парными рядами (или парными сумматорными уравнениями).Сходным приемом дано решение задачи о кручении упругой сферы двумя сцепленными с ней симметрично расположенными одинаковыми штампами. Методом парных рядов по полиномам Лежандра даны также решения некоторых смешанных задач о сжатии и кручении упругой сферы и вытянутого эллипсоида вращения. Наконец, рассмотрена контактная задача о вдавливании жесткого штампа в упругую сферу, причем парные ряды по полиномам Лежандра были сведены к бесконечной линейной алгебраической системе. В качестве примера рассматривалась сфера, покоящаяся без трения на полусферической выемке и нагруженная по остальной части поверхности.
    Парные ряды по полиномам Лежандра могут быть также эффективно использованы с помощью бисферических координат при решении смешанной задачи о кручении полупространства со сферическим включением (см. А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1967).
    Отметим также интересную статью Н. М. Бородачева (1967), в которой парные ряды по функциям Бесселя использованы в осесимметричной задаче о вдавливании кругового штампа в торец полубесконечного цилиндра.
    Необходимо указать еще на один раздел пространственных смешанных задач теории упругости, получивший в работах советских ученых большое развитие за последние годы. Речь идет о контактных задачах для линейно деформируемого основания и связанных с ними задачах о воздействии штампа на неоднородное упругое полупространство. Основоположные  работы  здесь  принадлежат  Б. Г.   Кореневу (1954,  1957, 1960)                              В дальнейшем этими проблемами занимались В. И. Моссаковский (1958), Г. Я. Попов (1959), А. Ф. Раков и В. Л. Рвачев (1961), Н. А. Ростовцев (1961, 1964) и ряд других авторов. Более подробные сведения по этим вопросам содержатся в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева (1966).
    В заключение отметим, что значительное количество сведений и большая библиография по смешанным пространственным задачам теории упругости, изученным в последние годы, содержатся в обзорах Д. И. Шермана (1962), Б. Л. Абрамяна и А. Я. Александрова (1966), Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева (1966), Н. А. Кильчевского и Э. Н. Костюка (1966) В. Л. Рвачева (1967).