Меню

  • На главную

Поиск

  • Постановка и методы решения задач плоской теории упругости

    Posted 7/26/2009 в 7:52:35 ПП

    Одним из наиболее важных и хорошо разработанных к настоящему времени разделов теории упругости, где достижения отечественной науки особенно велики, является так называемая плоская задача теории упругости Успех в разработке плоских задач объясняется привлечением к их рассмотрению теории аналитических функций комплексного переменного. Первые и основополагающие результаты в этом направлении, определяющие современный вид плоской теории в целом, были получены в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили.
    Под плоской задачей теории упругости понимают плоскую деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длинного цилиндра со свободными основаниями), либо плоское ее напряженное состояние (деформация тонкой пластинки силами, лежащими в ее плоскости). Определение упругого равновесия в этих случаях сводится к решению краевых задач для бигармонического уравнения. К бигармоничес-скому же уравнению сводятся задачи равновесия упругих пластинок, подверженных нормальной нагрузке. Плоские задачи и задачи об изгибе пластинок в математической их формулировке весьма сходны между собой, сходны и методы их решений. Поэтому целесообразно совместное рассмотрение этих двух типов задач.Наряду с методами теории функций комплексного переменного, позволяющими осуществить решение плоской задачи для областей сравнительно общего вида, эффективные решения для некоторых областей конкретной формы могут быть найдены частными приемами, например с помощью интегральных преобразований Фурье и Меллина.
    Преобразование Фурье является весьма удобным аппаратом для рассмотрения различных задач упругого равновесия бесконечной полосы. Простейшие решения подобного рода были найдены еще Л. Н. Дж. Файлоном. Эта методика, получившая широкое развитие в работах советских авторов, в конце тридцатых годов была обобщена и суммирована в известных монографиях П. Ф. Папковича (1939, 1941). В последующем различными авторами было рассмотрено значительное количество новых задач, относящихся к деформациям полосы, полуполосы, соответствующих слоистых сред и анизотропных тел, тепловым напряжениям и др. Не имея возможности их перечислить, отошлем читателя к обзорным работам Д. И. Шермана (1962), Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева (1966), монографиям С. Г. Лехницкого (1957) и М. П. Шереметьева (1968).
    Укажем еще на статьи И. Г. Альперина (1930), М. Я. Беленького (1952) и С. Е. Бирмана (1954), относящиеся к смешанным задачам для бесконечной полосы, а также на работы И. А. Маркузона (1963), В. С. То-нояна (1963, 1964), в которых некоторые классы смешанных задач для полуплоскости, полосы и квадранта решены с помощью парных или тройных уравнений, связанных с преобразованием Фурье.
    Ряд интересных задач получил свое разрешение с помощью аппарата интегралов Фурье в биполярных координатах. Задачи подобного рода, относящиеся в основном к круговым луночкам, рассматривались Я. С. Уфляндом  (1950, 1963), Г. Н. Савиным  (1951), М. А. Савруком (1957),
    B. В. Еганяном (1959, 1964) и другими авторами.
    Некоторые плоские задачи теории упругости для бесконечного клина допускают точное решение с помощью интегрального преобразования Меллица. Первоначальные исследования этого круга вопросов принадлежат И. Г. Братцу и В. М. Абрамову (1937). Задача о действии на клин сосредоточенной силы впервые рассматривалась А. И. Лурье и Б. 3. Брач-ковским (1941). Анизотропный клин исследовался П. П. Куфаревым (1941). Библиография по указанным задачам имеется в книге Я. С. Уфлянда (1963).
    Развитие метода интегральных преобразований Фурье и Меллина в сочетании с аппаратом интегралов типа Коши содержится в работах
    C. М. Белоносова (1962), относящихся к областям с угловыми точками и, в частности, к полосе и клину.

    Тэги: