Меню

  • На главную

Поиск

  • Основные соотношения теории упругих оболочек

    Posted 8/1/2009 в 3:53:42 ПП

    Было бы естественно думать, что за время длительного развития основные уравнения теории упругих оболочек получили законченную форму и в наши дни уже не являются предметом исследований и дискуссий. Фактически же последнее десятилетие свидетельствует о все возрастающем интересе именно к проблеме построения самих уравнений или, вернее, к установлению процедуры последовательного уточнения напряженного состояния. Было бы ошибкой полагать, что интерес этот связан исключительно с новыми задачами — расчетом однородных анизотропных оболочек из новых конструкционных материалов и многослойных анизотропных оболочек, определением полей ускорения около фронта распространения волн напряжения и т. д. Эта проблема продолжает стоять, и не без оснований, также и перед линейной теорией равновесия изотропных оболочек. Ее постановка стимулируется в линейной теории равновесия, во-первых, важностью разработки основ расчета оболочек «средней» толщины, во-вторых, потребностями анализа напряженного состояния в особых точках (например, около вершины конической оболочки, в зоне приложения сосредоточенной нагрузки), в-третьих, необходимостью выяснения вопроса о том, как удовлетворить краевым условиям (или в каком смысле будут удовлетворены при помощи того или иного расчетного алгоритма краевые условия); наконец, на примере простейших задач (линейной теории равновесия) легче всего разработать основные методы приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек, когда размерность объекта исследования уменьшается на единицу.
    Из сказанного, однако, не следует, что теория оболочек опирается сегодня еще на шаткие основания. Нет сомнения в том, что для широкого круга практических задач классический вариант теории Кирхгофа — Лява дает вполне адекватное описание напряженного состояния оболочек. Как и многие другие выдающиеся достижения науки, этот вариант теории подвергался с течением времени лишь небольшим (хотя и необходимым) поправкам; он будет и впредь находить оправданное применение при решении многих сложных задач теории оболочек.
    Слабое место теории Кирхгофа — Лява заключается в кажущемся противоречии исходных гипотез: (1) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что поперечный сдвиг равен нулю, но в условиях равновесия сохраняются поперечные силы; (2) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что длины отрезков на нормали к срединной поверхности в процессе деформации не изменяются, но в соотношениях упругости принимается azz = 0. В настоящее время эти противоречия научились в большинстве случаев устранять при помощи надлежащей интерпретации. Исключение представляют напряженные состояния с большим показателем изменяемости и напряженные состояния в многослойных оболочках с мягким заполнителем, где учет поперечного сдвига обязателен. Однако, поскольку исключения существуют, оправдан и пересмотр основных уравнений теории оболочек с помощью новых средств научного исследования. Например, численное решение на ЭВМ задач теории упругости, близких к задачам теории оболочек, вполне может выявить новые способы сведения и даже поставить проблему сведения в явной форме.
    Вместе с тем полезно не упускать из виду возможность практического приложения новых результатов, ожидаемых при выполнении программы пересмотра теории. Оболочка, как правило, является только элементом конструкции. Чтобы рассчитать оболочку, нужно определить, вообще говоря, условия упругой заделки ее краевого сечения. Нередко эта задача может быть решена только в первом приближении путем выражения условия заделки через ограниченное число коэффициентов жесткости (или податливости). При этом кинематические условия сопряжения оболочки окаймляющей оболочку конструкции формулируются через такое же число обобщенных перемещений (отнесенных к линии пересечения срединной и контурной поверхностей оболочки).
    Классическая теория Кирхгофа — Лява определяет кинематику на краю оболочки через четыре обобщенных перемещения, а различные ее современные модификации (теории типа Рейсснера, Тимошенко) — через пять. В последнем случае предполагается, что тангенциальные перемещения изменяются в направлении нормали по линейному закону, а нормальные перемещения одинаковы для всех точек на одной нормали. Несмотря на большое количество предложенных вариантов, «единой» общей нелинейной теории упругих оболочек, удовлетворяющей всем требованиям, пока не существует. Что же касается практических приложений нелинейной теории, то громадное большинство исследователей применяют упрощенный вариант нелинейных соотношений, известный под названием системы уравнений типа Кармана. Об этом свидетельствуют монографии А. С. Вольмира (1956), X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957), М. С. Кор-нишина (1964), обзорные статьи А. С. Вольмира (1958), X. М. Муштари (1958, 1962), В. И. Феодосьева (1966).
    Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир (1959). Вместе с тем прогресс в этом направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных исследователей (В. И. Феодосьев, 1963; М. С. Корнишин, 1966; И. И. Ворович и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ (как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари (1959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории оболочек дан И. В. Свирским (1966).
    В заключение следует отметить, что интегрирование уравнений теории оболочек и пластинок в элементарных или специальных (табулированных) функциях удается лишь в исключительных случаях. Далеко идущие результаты в этом направлении достигнуты А. Д. Коваленко, разработавшим применение теории обобщенных гипергеометрических функций для определения напряженного состояния в дисках, круглых пластинках переменной толщины и конических оболочках вращения по линейной теории равновесия. Эти результаты частично изложены в монографиях и обзорной статье А. Д. Коваленко (1955, 1959, 1963) и в книге А. Д. Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина (1963).