Меню

  • На главную

Поиск

  • Вариационные методы

    Posted 8/1/2009 в 3:55:03 ПП

    Включение в настоящий обзор раздела о вариационных методах может показаться неожиданным, однако эти методы находят в .теории оболочек со своими сложными соотношениями такое широкое и разнообразное применение, что следует подчеркнуть их значимость. Общая теория оболочек или же ее упрощенные варианты для решения каких-либо конкретных задач, конечно, могут быть построены без использования аппарата вариационных методов, но нужно привлечь внимание и к обратной точке зрения: раз некоторая совокупность расчетных соотношений построена, следует проверить, обладает ли данная модель упругой системы потенциалом, допускающим вариационную формулировку рассматриваемой задачи.На завершающем этапе разработки уравнений линейной теории оболочек это хорошее правило не упускалось из виду (А. Л. Гольденвейзер, 1944).
    Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения.
    Путеводителем в области применения вариационных методов в линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лей-бензона (1943). Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяно и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения этих результатов без особых затруднений и на линейную теорию оболочек.
    Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек.
    При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемещений, приводящее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950; К. 3. Галимов, 1951, 1958).
    Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них назовем вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана (Н. А. Алумяэ 1950; М. А. Колтунов, 1952 ], а также уравнения общей нелинейной теории (К. 3. Галимов, 1956).
    Немного позже Л. Я. Айнола (1957) на примере уравнений типа Кармана показал, что при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных формул; в случае уравнений Кармана число различных формул оказалось равным 181. В общей нелинейной теории это число может оказаться и еще больше.
    К. 3. Галимов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгофа), не обращал внимания на промежуточные результаты — вариационные формулы, а стремился к узловым точкам замкнутой цепи этих формул. Основные результаты этой работы приведены в монографии X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957).
    Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариационных формул обобщен Н. К. Галимовым (1965) на нелинейную теорию трехслойных оболочек.
    Как было отмечено, вариационные методы являются надежным средством для вывода краевых условий. Одна из сложнейших задач в нелинейной теории — формулировка геометрических граничных условий в усилиях и моментах — успешно решена не без помощи вариационных уравнений К. 3. Галимовым (1958, 1960).Исходным положением при определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения приближенного решения по методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом.
    Сравнительно недавно Л. Я. Айнола (1966) все же построил вариационное уравнение для решения нестационарных линейных задач в форме интеграла свертки (по времени), где функциональные аргументы должны удовлетворять начальным условиям относительно координат, но не обязательно относительно скоростей; в конечный же момент времени функциональные аргументы ничем не стеснены. В нелинейных задачах аналогичное по содержанию вариационное уравнение в форме билинейного интеграла типа свертки может быть получено за счет удваивания числа функциональных аргументов (введением дополнительных неизвестных).
    При исследовании кратковременных нестационарных процессов (например, в случае, когда упругие волны, распространяясь от источника, не успели охватить всю оболочку) может оказаться полезным приложение вариационных уравнений в форме, предложенной Л. И. Слепяном (1965). В этих вариационных формулах учитывается изменение границы деформированной области во времени, т. е. функциональные аргументы задаются только в области существенных деформаций. Естественно ожидать, что выделение области существенных деформаций значительно повышает практическую сходимость при решении широкого класса нестационарных задач, в том числе и "задач, описываемых уравнениями параболического типа.
    Основной базой для сведения двумерных задач теории пластинок и оболочек к задачам систем с конечным числом степеней свободы служат методы Ритца и Бубнова — Галеркина для решения вариационных уравнений. Подавляющее большинство нелинейных задач теории пластинок и оболочек решено именно таким путем. При этом всегда возникают вопросы: в каком смысле приближенное решение, если оно существует, будет удовлетворять условиям исходной краевой задачи? какова погрешность приближенного решения? Этим вопросам посвящен цикл работ И. И. Во-ровича (1955—1958) по нелинейной статике и динамике пологих оболочек. Ответы на поставленные вопросы Ворович дал в терминах функционального анализа. К сожалению, здесь невозможно даже конспективно изложить эти результаты. Отметим лишь, что указанное направление получило дальнейшее развитие в основном в работах В. Н. Морозова (1958, 1962), Л. С. Срубщика и В. И. Юдовича (1962, 1966).