Меню

  • На главную

Поиск

  • Качественный анализ напряженного состояния

    Posted 8/1/2009 в 3:57:58 ПП

    Трудно себе представить направление, которое больше содействовало бы развитию теории и расширению алгоритмов расчета оболочек, чем разработка общих методов качественного анализа напряженного и деформированного состояний. Результаты качественного анализа выявляют возможности расчленения общего напряженного состояния на элементарные, указывают упрощенные соотношения для определения этих элементарных состояний, позволяют установить оценки погрешностей, возникающих при переходе на упрощенные соотношения, и, наконец, намечают итерационные процессы для нахождения общего напряженного состояния с нужной равномерной точностью во всей области.
    Разработка всех этих вопросов имеет длительную историю. Так, например, И. Я. Штаерман (1924) указал на целесообразность раздельного определения основного (безмоментного) напряженного состояния и краевых эффектов в оболочках вращения при осесимметричной нагрузке еще более сорока лет тому назад. В начале тридцатых годов произошло бурное развитие методов расчета цилиндрических оболочек, в основном благодаря успешным исследованиям В. 3. Власова (1933, 1936), приведшим к варианту расчета (получившему в наше время название «полубезмомент-ной» теории — по терминологии В. В. Новожилова, 1951), описывающему обобщенные краевые эффекты около асимптотического края. Позже в работах А. Л. Гольденвейзера (1947, 1953) были даны обобщения упрощенного расчета краевых эффектов в статике оболочек нулевой гауссовой кривизны произвольного очертания и отрицательной гауссовой кривизны около асимптотического края. Результаты этих исследований показали, что для недлинных оболочек полученные соотношения представляют собой частные случаи так называемой «технической» моментной теории оболочек (по терминологии В. 3. Власова, 1944), предназначенной для расчета напряженных состояний с большим показателем изменяемости. При длинных асимптотических краях обобщенные краевые эффекты вырождаются: показатель изменяемости напряженного состояния около края уже не будет достаточно большим для применения разрешающего уравнения (4.1).
    Следует отметить, что техническая теория оболочек сама по себе не ставит задачу расчленения напряженного состояния на элементарные; это для нее, можно сказать, задача второстепенная. Такой вариант теории оболочек давно уже применяется не только в линейных задачах статики, но и в нелинейных задачах статики, устойчивости равновесия и динамики (X. М. Муштари, 1939; В. 3. Власов, 1947). Вопросы расчленения напряженного состояния и раздельного определения элементарных напряженных состояний в только что названных задачах изучены сравнительно слабо (X. М. Муштари, 1949; Н. А. Алумяэ, 1953, 1954; Л. Я. Айнола, 1965; А. Л. Гольденвейзер, 1966). Отметим, что в этих задачах основное напряженное состояние оболочек нулевой кривизны весьма часто относится к типу обобщенного краевого эффекта.
    Важно подчеркнуть, что самым трудным моментом при качественном анализе напряженного состояния является не установление возможности существования того или иного элементарного состояния, а установление краевых условий для конкретного элементарного состояния. Для того чтобы проинтегрировать эту систему методом расчленения напряженных состояний, необходимо определить краевые условия для элементарных напряженных состояний. Для этого нужен анализ нелинейных краевых эффектов (при больших прогибах пластинки они, как известно, появляются). Само собой разумеется, что не всегда возможно раздельное наложение краевых условий по отдельным состояниям, т. е. в конечном итоге их раздельное определение. Впрочем, вопросы существования мембранного решения пластинок и оболочек вращения были в последнее время обстоятельно исследованы с применением функционального анализа в работах Н. Ф. Морозова (1962), Л. С. Срубщика (1964), Л. С Срубщика и В. И. Юдовича (1964, 1966).
    Между тем аналогичные трудности существуют и в линейных задачах. Примером служит проблема выяснения граничных условий, которые следует выполнять по безмоментной теории. Этому вопросу посвящены работы А. Л. Гольденвейзера (1948, 1960), К. Ф. Черных (1964).
    Для линейных задач наиболее совершенный аппарат исследования элементарных напряженных состояний был предложен А. Л, Гольденвейзером (1953); ему же принадлежит дальнейшая разработка (1959) этого аппарата, представляющего собой обобщение известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений метода асимптотического интегрирования  на уравнения в частных производных, содержащие малый параметр (относительная толщина оболочки).

    При применении метода ВКБ могут встретиться значительно более трудные вопросы построения решения. Примером может служить случай, когда выполняется рекуррентная процедура и срединная поверхность оболочки содержит линию, где изменяется знак гауссовой кривизны. Впрочем, определенные функции v0 по линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных уравнений, поэтому выяснение особых точек и характера решения около этих точек не должно представлять в каждом конкретном случае принципиальных затруднений. Вопросы же построения решения в духе метода ВКБ являются при наличии таких особых точек предметом исследования в современном математическом анализе даже в задачах, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Обращая в данном обзоре так много внимания на конструктивную сторону построения решения, следует в противовес также отметить, что рассмотренное здесь простое уравнение технической теории оболочек само является результатом упрощения системы более точных (?) уравнений на основе качественного анализа. Поэтому определение того или иного напряженного состояния разделяется на три этапа: (1) выяснение структуры разрешающих уравнений при заданном показателе изменяемости напряженного состояния с определением области применимости упрощенных соотношений (здесь процедура ВКБ применяется в скрытой форме); (2) выяснение возможностей применения метода ВКБ в его стандартном виде для интегрирования уравнений в установленной ранее области; при наличии в этой области точек поворота решений необходимо, как правило, (3) обобщение метода ВКБ хотя бы для формального построения решения в области, содеря^ащей точку поворота.
    К настоящему времени почти все основные результаты получены средствами первого этапа; ко второму этапу относятся исследования А. Л. Гольденвейзера (1959, 1960). Относящиеся к третьему этапу задачи находятся еще в стадии постановки, если говорить о системах, не сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
    Обидно признаться, что можно указать только одну работу по теории оболочек, где процедура метода ВКБ была применена для фактического (численного) построения решения двумерной краевой задачи (А. Петрова-Денева, 1966). Следовало бы ожидать, что мощный метод качественного анализа является по крайней мере удовлетворительным расчетным алгоритмом
    В целом проблематика качественного анализа решения уравнений теории оболочек ничем не отличается от соответствующей проблематики в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Настоящих математиков — специалистов по теории дифференциальных уравне ний — проблемы теории оболочек пока мало привлекают. Участие в развитии теории оболочек М. И. Вишика и Л. А. Люстерника (1957, 1960) было слишком кратковременным, чтобы оставить глубокий след в математической теории оболочек. В то же время чувствуется, что в теории оболочек использовано не все то, что может предложить для «внедрения» теория дифференциальных уравнений. Впрочем, следует сказать, что и среди специалистов по теории оболочек в последнее время ослабел интерес к проблемам общей теории и, в частности, к проблемам качественного анализа напряженного состояния произвольных оболочек. Ответственность за это несут не широкие возможности вычислительной техники, упраздняющие необходимость качественного анализа, а скорее то обстоятельство, что многие объекты новой техники хотя и работают в сложных условиях нагружения, но по своей конфигурации просты (цилиндрические панели, оболочки вращения) и для них эти вопросы не так остры. Оболочки сложной конфигурации прежде всего встречаются в современной архитектуре; возникающие там уникальные задачи решаются так или иначе без заметного сопутствующего вклада в теорию.