Меню

  • На главную

Поиск

  • Сведение к интегро-дифференциальным уравнениям

    Posted 8/1/2009 в 3:59:06 ПП

    Естественное стремление к расширению арсенала методов исследования и расчета привело к формулировке краевых задач теории оболочек в форме интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Работы в этом направлении заслуживают внимания, так как изучение свойств решения интегральных уравнений весьма мощными методами функционального анализа значительно проще, чем изучение дифференциальных уравнений; кроме того, численное интегрирование функций — операция более точная, чем дифференцирование, поэтому необходимая точность результата достигается с меньшим объемом вычислений. Однако сразу нужно отметить, что ядра интегральных уравнений теории оболочек не просты и препятствуют получению конечных результатов без заметных усилий. Кроме того, результаты приходится интерпретировать с позиций теории обобщенных решений.
    Сведение дифференциальных уравнений теории оболочек к инте-гродифференциальным уравнениям производится на базе теоремы о взаимности работ. Для того чтобы получить систему интегро-дифференциальных уравнений, в качестве вспомогательных состояний рассматриваются действия на оболочку единичных (сосредоточенных обобщенных) сил.
    Впервые такой подход к выводу интегро-дифференциальных уравнений наметил Н. А. Кильчевский (1940). В этой и более поздних работах Кильчевского (1946, 1959), а также во многих работах его последователей вспомогательные состояния определялись в плоской пластинке, поэтому между метриками на пластинке и изучаемой оболочке устанавливалось взаимно однозначное соответствие; согласно такой концепции те члены в уравнениях, которые характеризуют влияние кривизны оболочки, необходимо рассматривать как нагрузочные. Впрочем, принятие пластинки за систему, по которой строятся вспомогательные состояния, не является, конечно, обязательным.
    Это направление со временем получило значительное развитие — расширилась номенклатура объектов, а также сфера воздействий на оболочку. Отметим здесь только некоторые работы, посвященные задачам равновесия цилиндрических оболочек (Н. И. Ремизова, 1959), оболочек вращения (Г. И. Ткачук, 1961) и пологих оболочек (Б. Н. Фрадлин и С. М. Шахнов-ский, 1958), исследованию динамики оболочек с привлечением аппарата операционного исчисления (Н. А. Кильчевский, 1955), представлению интегро-дифференциальных уравнений оболочек в усилиях-моментах (Н. И. Ремизова, 1962).
    Не прибегая к теореме взаимности работ упругой системы, можно чисто формальными методами вывести интегро-дифференциальные уравнения равновесия даже при конечных перемещениях пологой оболочки и оболочки вращения (А. А. Березовский, 1959, 1960). Этот путь применялся в более простых случаях неоднократно и ранее (В. Н. Шаншмелашвили, 1955; И. А. Биргер, 1956).
    Все же.в силу отмеченных выше трудностей, возникающих при построении решения вспомогательных задач — ядер интегральных уравнений,— метод приведения дифференциальных уравнений к интегро-дифференциаль-ным и интегральным уравнениям в целом в теории оболочек не пользовался особым успехом.
    Вместе с тем этим методом эффективно решены до конца далеко не простые задачи о напряженном состоянии около отверстий (прямоугольных и эллиптических) в цилиндрических оболочках (Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский, 1961). Это дает повод поклонникам данного направления выразить надежду, что оно имеет преимущество при решении особо сложных задач, круг которых должен постепенно обрисоваться (Н. А. Кильчевский, 1964).