Меню

  • На главную

Поиск

  • Напряженное состояние около отверстия

    Posted 12/12/2009 в 4:02:50 ПП

    Разработка проблемы напряженного состояния около отверстий была начата А. И. Лурье (1946) на примере кругового отверстия в цилиндрической круговой оболочке, находящейся под действием равномерного давления. В указанной работе, которая служит идейным источником большого числа последующих исследований, Лурье исходит из системы, определяющей быстро изменяющееся напряженное состояние около отверстия.Решение в тригонометрических рядах по координате приводит к сложной системе совместных уравнений. В случае цилиндрической оболочки (у = V2, б = —V2) А. И. Лурье удалось преобразованием функции V значительно упростить задачу и свести ее к решению уравнения Бесселя. Числовые результаты получены в случае малого отверстия (%2 <С 1) путем разложения решения в ряд по степеням %. Таким образом, в первом приближении исследуется напряженное состояние пластинки; следующие приближения получаются как решения неоднородных уравнений плоской задачи и изгиба пластинки. Отсюда вытекает возможность (Ю. А. Шевля-ков, 1953) привлечения к решению задачи мощного аппарата аналитических функций, разработанного Н. И. Мусхелишвили. Результаты работ по применению теории аналитических функций описаны в общем обзоре по теории упругости, включенном в настоящий сборник. Однако применение аппарата теории аналитических функций не является обязательным в данном круге задач; Лурье и большинство его последователей провели исследования в рамках математического анализа с вещественными координатами.
    После появления фундаментальной статьи А. И. Лурье стали постепенно разворачиваться исследования по напряженному состоянию около отверстий; в настоящее время число публикаций по этому вопросу быстро растет: так, Г. Н. Савин в своем обзорном докладе (1962) на Львовской конференции смог сослаться на 40 отечественных работ по концентрации напряжений в оболочках, а за последующие 5 лет их число утроилось.
    Метод малого параметра (за который в рассматриваемом случае принимается приведенный радиус отверстия) применим для решения широкого круга задач по определению напряженного состояния около отверстий. Можно даже сказать, что работы, в которых применяется предложенный Лурье подход к решению, преобладают в рассматриваемой области исследований. В этом нет ничего удивительного, так как имеется достаточный простор для обобщения задачи без существенного изменения методики исследования. Так, вместо равномерного внутреннего давления можно рассматривать другие виды нагрузки цилиндрической оболочки, например кручение (Ю. А. Шевляков и Ф. С. Зигель, 1954); рассматривались сферические и пологие оболочки, ортотропные оболочки, оболочки с так или иначе закрепленным отверстием (с кольцом при различных свойствах жесткости или же с шайбой, твердой или упругой). Обзор исследований, выполненных в этом направлении до 1961 г., дан Г. Н. Савиным (1961, 1962). Основные работы в рассматриваемой области были выполнены первоначально Ю. А. Шевляковым (1953, 1955, 1956) и И. М. Пироговым (1956, 1962, 1963), опубликовавшими несколько десятков работ по довольно узкой тематике. Позднее в эти исследования включился Г. Н. Савин со своей школой, расширивший круг исследований отверстиями, контур которых представляет гладкую кривую без угловых точек.Концентрация напряжений в сферической оболочке около эллиптического отверстия исследовалась Г. Н. Савиным и Г. Н. Ван Фо Фы (1960), у квадратного и треугольного отверстия — А. Н. Гузем (1964, 1965). Следует отметить, что Гузь опубликовал в те же годы большую серию статей по результатам исследования напряженного состояния около малых отверстий различного очертания в оболочках разной конфигурации; достигнуты эти результаты методом разложения решения по степеням малых параметров. Методом малого параметра изучены и физически нелинейные задачи о концентрации напряжений около отверстий (И. А. Цурпал, 1963). К изложенному следует добавить, что результаты приложения метода малого параметра тем лучше, чем меньше отверстие, в то время как классическая теория оболочек вовсе не позволяет исследовать концентрацию напряжения около очень малых отверстий.
    В последнее время возник интерес к задаче о подкреплении отверстия, при котором бы сохранилось то же самое напряженное состояние, которое имеется при данной нагрузке без отверстия (Г. Н. Савин и Н. П. Флейш-ман, 1964; В. И. Тульчий, 1965). Решение этой задачи, впрочем, не всегда возможно.
    Относительно мало результатов имеется по концентрации напряжений около больших отверстий (р > 1). Это можно объяснить тем, что при р > 1 расчет оболочки сводится к типичной однородной задаче теории оболочек в двухсвязной области, где наличие отверстия в оболочке уже не является определяющим. Среди задач такого рода простейшими являются задачи с круговым отверстием в оболочке положительной гауссовой кривизны, труднейшими же, по-видимому,— с отверстием, контур которого в отдельных точках касается асимптотических линий (в случае оболочек отрицательной или нулевой гауссовой кривизны).  Вкратце  с постановкой этого вопроса можно познакомиться по статье Л. Б. Име-нитова (1966), где рассмотрен частный случай оболочки положительной кривизны.
    Энергетический метод определения напряжений при больших отверстиях применил О. А. Фролов (1961). Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский (1961) искусно использовали для этой цели принцип взаимности работ.
    Обстоятельный обзор состояния проблемы концентрации напряжений около отверстий дан Г. Н. Савиным (1966). В нем подчеркивается, что практически концепция о малых отверстиях применима в более широком интервале (вплоть до %2 = 3); это установлено теоретическими и многочисленными экспериментальными исследованиями (А. Я. Александров и др., 1966).