Меню

  • На главную
  • Реализуем пружины тверь, инструмент по приятным ценам.

Поиск

  • Основные результаты исследования задач плоской теории упругости

    Posted 7/26/2009 в 9:05:06 ПП

    В этом параграфе мы расскажем о некоторых конкретных результатах теории плоских задач, полученных в СССР за истекшее пятидесятилетие. Работы, которых мы коснемся, в основном тесно связаны с методами комплексного переменного и в этом смысле служат иллюстрацией применения и дальнейшего их развития.Решение основных задач для однородной среды. Первые результаты конкретного содержания, относящиеся к равновесию плоских профилей, были получены Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили.

    Методом,Н. И. Мусхелишвили дал простое решение первой и второй основных задач для круга, кругового кольца и бесконечной плоскости с круговым отверстием. Было разобрано множество частных примеров для различного вида внешних воздействий. Для областей подобного рода, разумеется, не требуется предварительное конформное отображение. Применив конформное отображение, Мусхелишвили решил трудную по тому времени задачу о равновесии сплошного эллипса. Позже эту же задачу решал Д. И. Шерман другим приемом.Методом же степенных рядов была исследована в эффективном виде задача о софокусном эллиптическом кольце (А. И. Каландия, 1953). Алгоритм эффективного решения этой задачи был еще раньше указан М. П. Шереметьевым, использовавшим метод функциональных уравнений в соединении с конформными отображениями.

    Только что названный метод оказался наиболее удобным для односвяз-ных областей. Как это было выше отмечено, он всегда приводит к эффективному решению, если отображение области осуществляется рациональной функцией. Первые применения метода были указаны самим Н. И. Мусхелишвили, давшим замкнутые решения основных задач для ряда конкретных случаев. Из этой серии задач мы выделим равновесие кругового диска под действием контурных сосредоточенных нагрузок и бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием. Результаты Мусхелишвили, о которых здесь говорится, были получены автором в его работах двадцатых и тридцатых годов (среди них следует особо отметить его мемуар, опубликованный в 1922 г.). Все эти результаты вместе с другими, принадлежащими тому же автору, подробно изложены в не раз цитировавшейся выше монографии Н. И. Мусхелишвили.
    Отметим здесь одно важное применение этого же метода, указанное Г. Н. Савиным. Будем рассматривать задачу о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной каким-либо отверстием. Считая контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля. Разложив этот интеграл в ряд по степеням ? и удержав в ряде конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую.

    Этим путем Г. Н. Савин и его ученики рассмотрели большое число конкретных задач о концентрации напряжений при различных формах и конфигурациях отверстий в однородном поле. Решения этих задач доведены до численных результатов, представленных в виде таблиц и диаграмм. Кроме того, в случаях, особо важных для приложений, построены графики распределения контурных напряжений. Сходным образом решаются Савиным задачи об изгибе тонкой пластинки с отверстием, подверженной действию моментов и нормальных усилий на бесконечности. Подробное изложение относящихся сюда результатов дано в книге Г. Н. Савина (1951), сыгравшей важную роль в последующей разработке этого круга вопросов.
    Одновременно с Г. Н. Савиным вопросами о напряжениях в пластинках с отверстиями в форме криволинейных многоугольников занимался М. И. Найман (1937, 1958), который применил оригинальный подход  к подбору приближенного отображения; он изучал в основном кручение брусьев, ослабленных продольными выточками.
    6.1.2. Метод, изложенный в п. 5.3.3, применим с некоторым видоизменением и к случаю полубесконечных областей, когда границей среды служит кривая, удаляющаяся в бесконечность в обе стороны. В этом случае удобнее пользоваться отображением на полуплоскость. Применение метода в общей постановке доказано в монографии Н. И. Мусхелишвили (1966), где приведено также решение некоторых частных задач подобного рода.
    Особый интерес для приложений представляет задача о концентрации напряжений в полуплоскости, ослабленной вырезом или имеющей выступы у прямолинейной границы. Задачам этого типа было за последнее время уделено много внимания, особенно за рубежом (Г. Нейбер, М. Сейка, С. Шиоя).
    Подход Н. С. Курдина к этим задачам представляется наиболее удачным. Ему удалось, применяя метод Мусхелишвили, детально разобрать некоторые интересные случаи указанного вида (1962).
    Возмояшость применения методов теории функций к задачам об изгибе пластинок впервые была иллюстрирована в работе А. И. Лурье (1928), где рассматривалась пластинка с опертыми краями, область срединной поверхности которой конформно отобрая^ается на круг посредством рациональной функции. Более подробное изучение этого вопроса было позже проведено А. И. Каландия (1953). В другой работе А. И. Лурье (1940) даются тем же методом замкнутые решения трех основных задач теории изгиба для случая круга. Здесь, как и в предыдущей работе того же автора, использовался метод Мусхелишвили (п. 5.3.3.).
    Цитированная выше работа С. Г. Лехницкого (1938) содержит систематическое применение методов комплексного переменного к задачам об изгибе пластинок. В ней выводятся общие комплексные представления основных величин для изотропного и анизотропного случаев, в окончательном виде формулируются основные задачи в терминах комплексного переменного и дается их решение в некоторых частных случаях.
    Указанные работы А. И. Лурье и С. Г. Лехницкого явились началом интенсивных исследований в теории изгиба пластинок.
    Методом п. 5.3.3 М. М. Фридман (1945) нашел решение некоторых конкретных задач об изгибе пластинки с криволинейным отверстием, изгибаемой моментами и усилиями, приложенными по ее краю.
    Особое внимание уделялось задаче равновесия пластинки с опертыми краями. Изучению ее посвящены работы 3. И. Халилова (1950), М. М. Фридмана (1952), Д. И. Шермана (1959), А. И. Каландия (1953).
    Метод линейного сопряжения функций оказался весьма удобным средством для общих исследований задач, а также для эффективного их решения в специальных случаях. Он обладает явным преимуществом перед другими при изучении смешанных и контактных задач, где важно уметь выделять особенности решения. Задачи этого типа будут рассмотрены ниже в отдельном разделе.

    Тэги: