Меню

  • На главную

Поиск

  • Собственные колебания

    Posted 8/1/2009 в 4:18:25 ПП

    Весьма широкую тему для исследований представляет определение спектра частот и принадлежащих им собственных форм колебаний. Оно является вспомогательной задачей при динамических расчетах как вынужденных колебаний, так и других квазистационарных процессов. За исключением свободно опертых пологих оболочек и цилиндрических панелей, любая задача из этой области содержит и сегодня достаточно трудностей для ее решения.
    Исследования колебаний пластинок и оболочек имеют длительную историю. Определение собственных частот пластинки, например, можно отнести к классическим задачам математической физики; то же можно сказать и по поводу колебаний сферической оболочки, хотя последние являются предметом многочисленных исследований и в настоящее время (П. Е. Товстик, 1965),— классические задачи не обязательно просты.
    Ранний период исследований колебания оболочек характеризуется решением частных задач (А. П. Филиппов, 1937; В. 3. Власов и Б. М. Те-ренин, 1947, О. Д. Ониашвили, 1950; В. Е. Бреславский, 1953, 1954; Э. И. Григолюк, 1956). Состояние первоначальной разработки этой проблемы описано в монографии О. Д. Ониашвили (1957); некоторые более поздние результаты  по  частным объектам   приведены в справочнике
    B. С. Гонткевича (1964). Отметим работы Р. Л. Малкиной (1958, 1960) о колебаниях некруговых цилиндрических оболочек, В. Е. Бреславского (1959) о влиянии отверстий на частоты, И. И. Трапезина (1959). Д. Д. Уль-яницкого (1958) о малых колебаниях конической оболочки и лопастей гидротурбин; У. К. Нигул (1958) подробно исследовал полный спектр и формы колебаний цилиндрической оболочки. К этому же времени относятся первые работы по свободным колебаниям анизотропных и многослойных оболочек.
    Естественное обобщение задачи о свободных колебаниях получается при анализе собственных частот оболочки, находящейся под нагрузкой (при некотором, обычно безмоментном напряженном состоянии). Результаты для конкретных нагрузок имеются у В. Е. Бреславского (1956), М. В. Никулина (1959). Как известно, изучение колебательных свойств под нагрузкой является основным методом исследования устойчивости равновесия данной системы. Поэтому чаще всего центр тяжести в этой серии работ лежит в сфере проблем устойчивости упругих систем.
    Достаточно большой ряд работ по колебаниям пластинок и оболочек с конечными прогибами был открыт Э. И. Григолюком (1955). Основной путь исследования колебаний оболочек с конечной амплитудой — это сведение к системе с одной-двумя степенями свободы и дальнейшее применение результатов, разработанных в нелинейной механике. Этот прием господствует в настоящее время при решении сложнейших задач динамики  оболочек. Сюда относятся задачи по параметрическим колебаниям, нелинейному флаттеру, динамической устойчивости при ударной нагрузке и т. п.
    Линейная теория колебаний пластинок и оболочек по своей форме мало отличается от линейной теории равновесия — согласно принципу Даламбера влияние инерции можно учесть в качестве нагрузки. Развитие этой теории могло бы идти параллельно с развитием теории равновесия. Однако пока в нашем распоряжении нет исследований по теории колебаний оболочек такой общности, как мы имеем в теории равновесия. Никак не умаляя значения монографии О. Д. Ониашвили и справочника В. С. Гонткевича, следует сказать, что они посвящены изложению частных результатов и не ставят целью систематический анализ многообразия колебательных форм с позиций общей теории оболочек.
    Вместе с тем уже давно обнаружено, что в задачах по малым колебаниям оболочек возможно расчленение общего состояния движения (и напряженного состояния) на элементарные состояния, известные из общей теории равновесия оболочек. Такие состояния были описаны в обзорной статье Н, А. Алумяэ (1958). За исключением простейших объектов, проведение качественного анализа задачи с целью расчленения общего состояния движения на элементарные приводит к значительному сокращению вычислительной работы. Опираясь на эту процедуру, Л. Ю. Поверус и Р. К. Ряямет (1958) определили основные тоны колебания конической оболочки по полубезмоментной теории.
    Рассматриваемая проблема была предметом обстоятельного анализа в рамках А. Л. Гольденвейзера (1961, 1966), подошедшего к ней с точки зрения общей теории оболочек, т. е. применительно к произвольной оболочке. В последней статье Гольденвейзер подытожил результаты качественного исследования свободных колебаний с большим показателем изменяемости состояния перемещений. Целью исследования было установление областей для параметров, характеризующих функцию изменяемости, в которых возможно расчленение общего состояния перемещений на элементарные. Классификация задач проведена с учетом геометрических свойств контурной линии, от которых существенно зависит характер дополнительных интегралов, привлекаемых для удовлетворения краевых условий. Основное внимание в статье уделено безмоментным поперечным колебаниям, происходящим при относительно малых частотах и сопровождаемым лишь малыми тангенциальными колебаниями. Принципиальные трудности применения метода ВКБ могут появиться даже при решении одномерных задач. Дело в том, что уравнения с переменными коэффициентами в определенной полосе частот имеют в области интегрирования так называемые точки ветвления; в окрестности этих точек метод ВКБ перестает работать. Решение возникающих в этом случае проблем посвящены работы Н. А. Алумяэ (1960) и П. Е. Товстика (1965, 1966). В случае двумерных задач эти вопросы применительно к теории оболочек практически не изучены.  Обобщение данного метода асимптотического интегрирования на оболочки, для которых следует учитывать переменность метрических коэффициентов, представляет несомненный интерес, но требует, согласно мнению В. В. Болотина (1961, 1962), привлечения аппарата метода ВКБ. В первую очередь должны поддаться анализу оболочки, срединная поверхность которых развертывается на поверхность вращения, а контурные линии совпадают с линиями кривизны. Несомненный академический и практический интерес представляют также оболочки, очерченные по минимальной поверхности, где контурные линии являются асимптотическими линиями срединной поверхности (расчет колебаний турбинных лопаток).
    В отношении применимости метода остается вопрос: получим ли мы таким путем все частоты? Утверждать это пока трудно, ибо имеется пример простой одномерной задачи, на котором показано, что при применении асимптотического метода теряются некоторые частоты (Ж. К. Махортых, 1964). Тем не менее предложенный В. В. Болотиным метод является весьма эффективным для определения большого количества частот и собственных форм свободных колебаний; метод нашел широкое применение при решении различных динамических задач.Несомненный интерес представляет распространению результатов о плотности собственных нормальных колебаний на другие типы колебаний оболочек (тангенциальные колебания, высокочастотные изгибные колебания, появляющиеся при учете инерции поворота по теории типа Тимошенко). Эти результаты находят применение при изучении пластинок и оболочек, подверженных действию случайных нагрузок.