Меню

  • На главную

Поиск

  • Переходные процессы деформации

    Posted 8/1/2009 в 4:21:13 ПП

    В современной технике нередко возникают задачи, в которых история процесса представляет интерес только в течение небольшого промежутка времени, соизмеримого со временем пробега волнами деформации пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. Для переходных процессов деформации типично наличие невозмущенных областей в оболочке в течение существенной доли от полной истории процесса. Граница возмущенной области характеризуется (в зависимости от нагрузки) более или менее ярко выраженным фронтом волн напряжений. Если движение оболочки описывается уравнениями гиперболического типа, то это физически очевидное обстоятельство проявлется и математически. На фронте волны решение, вообще говоря,— разрывное. Так как в упругой среде разрывы распространяются с двумя скоростями, то картина разрывов (не говоря уже о поле перемещений) может оказаться весьма сложной, если учесть, что разрывы отражаются от боковых и контурных поверхностей. Ясно, что при медленном (и длительном) возрастании нагрузок роль этих разрывов в напряженном состоянии ничтожна. Прикладной интерес в первую очередь представляют переходные процессы, возникающие при соударении оболочки с другим телом или преградой, а также при обтекании оболочки ударной волны. Состояние исследований переходных процессов деформации в оболочках и пластинках подробно освещено в обзоре Л. Я. Айнолы и У. К. Ни-гула (1965), некоторые Дополнения к нему можно найти в обзорном докладе автора (Н. А. Алумяэ, 1966). Ограничимся здесь сжатым изложением основных результатов. Некоторые данные об ударе о произвольную оболочку приведены уже в монографии Н. А. Кильчевского (1949), в которой оболочка моделировалась по теории Кирхгофа — Лява; возникающие при ударе перемещения определены путем применения теоремы о взаимности работ.
    Исследования переходных процессов на основе модели гиперболического типа были начаты Я. С. Уфляндом (1947), который вывел новый вариант уравнения изгиба пластинки путем обобщения на пластинку системы гипотез, предложенной С. П. Тимошенко для уточнения уравнения движения стержня. Уфлянд применил для решения нестационарной задачи метод преобразования Лапласа и получил некоторые численные результаты.
    Если исключить деятельность геофизиков (см., например, Г. И. Пет-рашень, 1951, 1953) с несколько иной областью интересов, то после работы Я. С. Уфлянда последовало почти десятилетнее затишье в публикациях по рассматриваемой теме. Однако в последнее время намечается заметное оживление — вырисовались две основные проблемы.
    Первая проблема заключается в разработке методов анализа быстро изменяющихся полей на основе уравнений теории упругости. Один из этих методов основывается на применении двукратных интегральных преобразований с обращением при помощи метода перевала и с учетом только конечного числа мод. Естественно, что решению конкретных задач должно предшествовать исследование дисперсионных соотношений в высокочастотной области. Оно проведено, например, для антисимметричной (относительно срединной поверхности) деформации пластинки (Ю. К. Коненков, 1960; У. К. Нигул, 1963; А. И. Мяннил и У. К. Нигул, 1963), для которой имеется весьма богатая информация о фазовых и групповых скоростях распространения волн. Уже эти результаты дают возможность оценить точность дисперсионных соотношений, полученных на базе упрощенных теорий (И. Т. Селезов, 1960). Наряду с этим большой интерес представляет анализ конкретных переходных процессов; сюда относится работа У. К. Нигула (1963) о волновом процессе изгиба в полубесконечной пластинке.
    Применение метода Каньяра для обращения двукратных интегральных преобразований приводит, по существу, к построению системы элементарных волн, возникающих при отражении первичных волн от боковых поверхностей. Этот метод требует большого аналитического мастерства, но все равно не приводит к простым вычислительным алгоритмам (Г. И. Петрашень, 1958). Имеющиеся результаты, главным образом, определяют характер разрывов на фронтах элементарных волн.
    Отчасти из-за аналитических трудностей, отчасти в связи с расширением возможностей применения вычислительной техники начали появляться работы, в которых динамические уравнения теории упругости непосредственно интегрируются численными методами (У. К. Нигул, 1965, 1966). Полученные результаты дают довольно ясное представление об областях применимости приближенных теорий; в частности, нашло подтверждение предположение о том, что около фронтов и других линий разрыва решения приближенные теории сглаживают движение (этот недостаток может оказаться весьма ощутимым, когда определению подлежат ускорения).
    Вторая проблема возникает вследствие того, что с помощью теории упругости нельзя выполнить весь нужный объем расчетов и поэтому необходимо усовершенствовать упрощенные теории, построенные на основе различных процедур приведения. Эта проблема в нестационарной динамике стоит так же остро, как и в теории трехслойных оболочек. Подходы к ее решению кратко изложены в параграфе, посвященном приведению уравнений теории упругости к уравнениям двумерной теории оболочек. Пока конкретный анализ и приложения не ушли дальше теории типа Тимошенко. Приближенные модели для описания напряженного состояния около разрывов отсутствуют.
    На базе теории типа Тимошенко решено достаточно большое количество задач по переходным процессам. Если опустить те исследования, где применяется метод разложения по собственным функциям колебаний (предназначенный для решения квазистационарных задач), то можно упомянуть публикации М. В. Дубинкина  (1959),  В. Д. Кубенко (1965), Н. Д. Векслера и др. (1965,1966) по решению одномерных задач при краевой нагрузке, а также статью А. В. Агафонова (1965) о действии сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку (двумерная задача). Далее следует отметить работы о реакции пластинки или оболочки на действие подвижной нагрузки: Д. Е. Хейсин (1963) исследовал установившееся движение пластинки, плавающей на поверхности жидкости, В. Л. При-секин (1961) определил критические скорости движения нагрузки в осевом направлении цилиндрической оболочки, Л. И. Слепян (1966) установил -асимптотические законы роста амплитуд смещений при критических скоростях движения нагрузки по простым объектам (стержень, безмоментная цилиндрическая оболочка), М. А. Ильгамов и А. А. Яббаров (1965) рассмотрели установившееся движение цилиндрической оболочки с перемещающимся внутри нее разделом между газообразной средой и сплошным упругим заполнителем (с учетом термических эффектов), А. Н. Тюманок (1965) определил по теории типа Тимошенко неустановившиеся колебания цилиндрической оболочки; получены формулы для разрывов при обтекании   сферической   оболочки   ударной   волной (Н. А. Алумяэ, 1966); П. Ф. Сабодаш (1965) исследовал установившееся воздействие подвижной нагрузки на пластинку по теории упругости.
    Большое внимание уделено нестационарным задачам гидро- и аэроупругости. Гидравлический удар с учетом деформативности был предметом изучения в работах Н. А. Кильчевского и др. (1962), А. С. Вольмира и М. С. Герштейна (1966), причем в последней работе труба моделировалась нелинейно как геометрически, так и физически. Воздействие на длинную круговую цилиндрическую оболочку акустической волны с параллельной к оси оболочки плоскостью фронта рассматривалось Э. И. Григолюком и В. Л. Присекиным (1963) в линейной, а позже — А. С. Вольмиром и М. С. Герштейном (1965) в нелинейной постановке; эти результаты относятся к начальной стадии удара.
    За редкими исключениями, решенные до сих пор задачи — одномерные. Это можно понять, если учесть существующую мощность вычислительной техники, с одной стороны, и сложность картины разрывов напряженного состояния, с другой стороны. Решение двумерных линейных :задач стоит в повестке дня ближайших лет. Принимая во внимание нужды техники и опыт геофизиков, выполнение намечаемой программы немыслимо без применения вычислительной техники, которая уже обеспечивала решение ряда сложных нелинейных задач.
    Применение простейших расчетных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих переходные процессы, возможно лишь в случаях, когда решение достаточно гладкое. Этого можно достичь, если из общего решения выделить разрывную часть вплоть до нужного порядка. Впрочем, при решении линейных одномерных задач такое разложение применяется весьма часто. Если нелинейный процесс может быть описан полулинейными уравнениями, то для выделения разрывной части решения применимы методы, известные из линейной теории. Исследование же разрывных решений квазилинейных уравнений представляет собой пока белое пятно в теории оболочек. Между тем можно предполагать, что результаты по изучению квазилинейных уравнений внесут дополнительные аспекты в проблематику динамической устойчивости нестационарных процессов в пластинках и оболочках.
    Перспективы исследования затронутого здесь вопроса затемнены одним обстоятельством: в зонах, примыкающих к разрывам, теория оболочек неадекватно описывает происходящие там явления. Поэтому исследования в этой области необходимо вести в тесном контакте с разработкой указанной в начале настоящего параграфа первой проблемы. Наконец, заметим, что в практических задачах могут встретиться очень сильные разрывы (например, при обтекании цилиндрической оболочки ударной волной, фронт которой параллелен оси оболочки), поэтому анализ и установление качественных и количественных характеристик разрывов не является «академическим» увлечением, т. е. некоторым гиперболизмом в «параболической природе».