Меню

  • На главную

Поиск

  • Приведение задач теории упругости к теории оболочек

    Posted 8/1/2009 в 4:29:36 ПП

    Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек для тонкостенных объектов типа пластинок и оболочек. Основные относящиеся сюда результаты освещены в обзорах И. И. Воровича (1966) с упором на задачи равновесия; состояние проблемы приведения при решении динамических задач изложено в обзорной статье Л. Я. Айнолы и У. К. Нигула (1965).
    Весьма условно методы приведения можно разделить на следующие основные группы: (1) аналитические методы, (2) вариационные методы, (3) асимптотические методы.
    Наибольшую историю среди методов приведения имеет метод степенных рядов, при котором коэффициенты разложения искомых величин (по нормальной к срединной поверхности координате z) определяются рекуррент-но через шесть основных функций (от внутренних координат а, Р срединной поверхности); последние же определяются условиями на боковых поверхностях (Н. А. Кильчевский, 1939, 1963), которым удовлетворяют с точностью до членов определенного порядка zk, так как практически возможно лишь рассмотрение усеченных систем (т. е. систем дифференциальных уравнений конечного порядка). Следует отметить, что удовлетворение краевых условий (на контурных поверхностях) и начальных условий с заданной точностью требует вывода системы дифференциальных  уравнений более высокого порядка точности. Полученные методом разложения решения в степенные ряды усеченные системы в ряде конкретных случаев даны И. Т. Селезовым (1961, 1963) и У. К. Нигулом (1962).
    В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен до изящных формул «символического» метода А. И. Лурье (1942, 1955) или до метода начальных функций В. 3. Власова (1955). Символический метод применен также для вывода упрощенных уравнений динамики с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963); однако краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Прокопов, 1965).
    При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод «однородных» решений. По этому методу решение задачи теории упругости ищется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяющих однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях; к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения «однородных» решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях; обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений.
    Описанный метод был применен к изучению состояния равновесия круглых.пластинок В. К. Прокоповым (1952), О. К. Аксентяном и И. И. Во-ровичем (1963); случай замкнутой круговой цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации был рассмотрен В. К. Прокоповым (1949), а также Н. А. Базаренко и И. И. Воровичем (1965). Вопросам приложения данного метода к теории упругости посвящена обзорная статья Г. Ю. Джанелидзе и В. К. Прокопова (1963).
    Следует добавить, что при определении корней характеристического уравнения и принадлежащих к каждому корню напряженных состояний систематически применяется разложение неизвестных по степеням малого параметра, т. е. относительной толщины. Конечно, это самый надежный метод исследования проблемы приведения, но, к сожалению, он применим только для весьма ограниченного класса задач. Например, при изучении распространения волн напряжения метод однородных решений применим без осложнений лишь при определенных краевых условиях, допускающих sin — cos-интегральное преобразование по координате (У. К. Нигул, 1963).
    К аналитическим методам сведения в динамике следует отнести также процедуру сопоставления формальных решений в виде контурных интегралов задач теории упругости и теории пластинок. По замыслу Г. И. Пет-рашеня (1951) обе теории должны дать одинаковые разложения для искомых величин в малочастотной части (комплексных) колебаний. Поскольку приближенная теория с меньшей размерностью этого не может полностью обеспечить, то из сопоставления выводятся условия применимости приближенной теории.
    Для приведения весьма часто используются энергетические методы, в которых искомые величины аппроксимируются как функции от z некоторой замкнутой системой (например, полиномами Лежандра), а дифференциальные соотношения между коэффициентами получаются из вариационной формулы Лагранжа или Кастильяно (или какой-то другой расширенной вариационной формулы). Этим путем без затруднений могут быть построены системы дифференциальных уравнений сколь угодно высокого порядка и получены соответствующие краевые условия (во многих методах, применяемых при решении проблемы приведения, формулировка краевых условий к усеченным системам является самым уязвимым местом теории).
    Примеры построения таких уточненных теорий оболочек даны в работах И. Н. Векуа (1955, 1965), И. Г. Терегулова (1962), Н. А. Кильчевского (1963), В. В. Понятовского (1962). Анализ выведенных систем показывает, что с увеличением порядка системы дифференциальных уравнений выше восьмого в решениях появляются краевые эффекты типа Сен-Венана; более того, увеличение порядка системы уравнений (физически это соответствует увеличению числа степеней свободы) порождает только новые интегралы с большим показателем изменяемости — краевые эффекты типа Сен-Венана. Итак, если нужно выделить краевые эффекты Сен-Венана, соответствующие краевому кручению и краевой плоской деформации в первом приближении, то система дифференциальных уравнений теории оболочек должна быть 14-го порядка. Однако пока не имеется опубликованных результатов по анализу таких расширенных систем уравнений теории оболочек.
    В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте системы дифференциальных уравнений для определения основных напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешающее уравнение было четвертого порядка), ищется наилучшее в энергетическом смысле и постоянное по срединной поверхности распределение перемещений и напряжений по толщине, выраженных через одну (искомую) функцию от z (Л. Я. Ай-нола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений способом последовательных приближений.
    Третья линия решения проблемы приведения — метод непосредственного асимптотического интегрирования. Здесь заменой координат— различной при отыскании качественно различных напряженных состояний — в уравнения теории упругости искусственно вводится параметр (скажем, е), характеризующий тонкостенность оболочки. Далее каждой неизвестной функции должен быть присвоен определенный непротиворечивый показатель интенсивности, допускающий рекуррентную процедуру определения членов разложения неизвестных по степеням малого параметра е. Отсюда ясно, что для успешного применения метода весьма желательна предварительная информация об основных свойствах определяемого напряженного состояния, иначе можно запутаться в подыскании непротиворечивых показателей интенсивности. Но если этот «пусковой» момент преодолен, то дальнейшее быстро приводит к изящным процедурам определения и последовательного уточнения напряженного состояния для широкого круга задач.
    У нас это направление разрабатывается А. Л. Гольденвейзером (1962, 1963, 1965) и его сотрудниками А. В. Колос (1964, 1965), А. Н. Волковым (1965) и М. И. Гусейн-заде (1965). Опубликованные результаты показывают, что основной процесс асимптотического интегрирования приводит в первом и только в первом приближении к известным из классической   теории пластинок и оболочек расчетным соотношениям, описывающим так называемые основные напряженные состояния (сжатие и изгиб пластинки, безмоментное и моментное состояния, состояния с большим показателем изменяемости). Существенно же новыми являются соотношения, по которым определяются в первом приближении краевые эффекты типа Сен-Венана (уравнения в частных производных краевого кручения и краевой плоской деформации), быстро затухающие у края.
    Как во всех неэнергетических методах приведения некоторые трудности представляет собой определение краевых условий, которым должны удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения. Эта проблема решена лишь частично для некоторых вариантов краевых условий пластинки. Теорема о взаимности работ допускает весьма широкую интерпретацию, так как силы и перемещения могут быть рассмотрены также в обобщенном смысле. Хорошо известно, что в этой теореме сопоставляются два состояния; одно из них — основное (искомое) состояние, второе — вспомогательное. Эта теорема может принести пользу, если решение вспомогательной задачи значительно проще решения основной задачи. Одна из двух возможностей заключается в том, что за основу вспомогательного состояния принимается решение о действии сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде. Но оболочка имеет (по крайней мере в направлении нормали к срединной поверхности) конечную протяженность, поэтому отсутствие «среды» в этом направлении нужно компенсировать нагрузкой, распределенной на граничных поверхностях оболочки (а также на контурных поверхностях, которые обычно имеются). В проблеме приведения вместо сосредоточенной силы рассматриваются обобщенные силы (например, моменты нулевого, первого и последующих порядков по толщине) и соответствующие обобщенные перемещения; это требует внесения несложных изменений в вышеописанную процедуру.
    При исследовании оболочек нулевой кривизны и пологих оболочек, срединная поверхность которых изометрична плоской пластинке, нередко за вспомогательное принимается состояние пластинки, что упрощает построение ядер, но вместе с тем меняет и их структуру. В последнее время выдвинута идея о применении «фокусированных» ядер, т. е. быстро затухающих вспомогательных состояний, для улучшения сходимости вычислительного процесса (Н. А. Кильчевский, 1960; Н. А. Кильчевский, X. X. Константинов и Н. И. Ремизова, 1966). Пока же весь этот круг вопросов характеризуется различными постановками задач, выдвижением новых способов и отсутствием конкретного опыта, добываемого при решении задач приведения до логического конца, т. е. до определенной системы двумерных уравнений. Наибольший интерес представляет решение задач, при которых напряженное состояние оболочки должно быть найдено при помощи уравнений теории упругости (например, краевые эффекты типа Сен-Венана, состояние около «сосредоточенной» нагрузки, около фронтов распространения возмущений и т. д.).
    Однако это замечание относится в равной мере ко всем направлениям решения проблемы сведения. Основной тематикой в ближайшем будущем должны являться задачи о напряженном состоянии около особых точек и линий «искажений» напряженного состояния. С точки зрения решения этих задач все известные методы имеют равные шансы на успех. Может быть, к разобранным здесь методам следует присоединить еще чисто численные методы решения уравнений теории упругости (без явной формулировки задачи приведения).
    Любопытно отметить, что основная процедура сводится к выделению напряженных состояний, которые быстро изменяются в направлении нормали (z), но не в тангенциальных к срединной поверхности направлениях (а, Р); вместе с тем это предположение ведет в нулевом приближении к напряженным состояниям, при которых перемещения иа, щ, w и напряжения Gaai аар, орр являются линейными функциями z; в этом случае, конечно, трудно утверждать, что эти величины быстро изменяются по z. Таким образом, кое-что нужно еще переформулировать, чтобы вполне приемлемые для практики и давно известные результаты не противоречили исходным предположениям.
    Применение методов асимптотического интегрирования для решения проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития. Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа полной сферы (всюду положительной кривизны?). Такую задачу считают наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек. Результаты анализа решения этой задачи весьма интригующие; Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях моящо увеличить точность уравнений классической теории оболочек. Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирхгофа — Лява; поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда возможно или целесообразно.
    Метод асимптотического интегрирования обобщен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Ай-нола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью.
    Среди методов приведения особое место занимает применение теоремы о взаимности работ упругой системы к выводу двумерных интегро-диффе-ренциальных уравнений. Разработка способов и приемов в данном направлении была начата Н. А. Кильчевским (1940); результаты исследований подытоживались им неоднократно в статьях обзорного характера и в монографии (1962, 1964), где можно найти и библиографические данные об основных работах по затрагиваемому вопросу.

    Тэги: