Меню

  • На главную

Поиск

  • Варианты теории оболочек

    Posted 8/1/2009 в 5:22:00 ПП

    В основе большинства вариантов теории оболочек лежит физическая гипотеза, согласно которой принято считать, что для описания напря-женного состояния тонкой оболочки практически достаточно определить усилия и моменты, действующие на элементарные поперечные площадки. В каждой поперечной площадке необходимо определить пять величин: нормальное и касательное усилия, перерезывающую силу, крутящий и изгибающий моменты, которые, очевидно, зависят от положения точки на срединной поверхности, а также от ориентации площадки. Эта задача сводится к определению двух тензоров второго ранга и одного тензора первого ранга, принадлежащих срединной поверхности. Таким образом, требуется найти всего десять функций, являющихся компонентами искомых тензоров. Эти функции удовлетворяют системе пяти уравнений с частными производными первого порядка. Поэтому задача является, зообще говоря, статически неопределимой. С целью устранения этой неопределенности необходимо принять некоторые дальнейшие ограничения относительно характера распределения напряжений или деформаций в оболочке. Можно попытаться сделать задачу статически определимой, приняв с этой целью некоторые ограничения относительно закона распределения усилий и моментов. Например, допустив, что моменты сил напряжения равны нулю всюду, получим статически определимую задачу. Однако состояние безмоментного равновесия представляет собой весьма частный случай общего напряженного состояния оболочки. Это видно из того, что соответствующая система дифференциальных уравнений не позволяет полностью обеспечить выполнение естественных физически краевых условий задачи. Вообще говоря, на границе можно задавать произвольно значения только одной из двух компонент вектора усилия. Например, в случае выпуклой оболочки, задавая граничные значения нормального усилия, можно, решив задачу, определить соответствующие граничные значения касательного усилия. Поэтому заранее нельзя задавать произвольно краевые значения обеих компонент вектора усилия. Несмотря на это, безмоментная, или, иначе, мембранная, теория оболочек имеет значительные практические применения. Это объясняется тем фактом, что, как показывают инженерная практика и теоретические исследования, упомянутое выше расхождение порождает для весьма широкого круга задач лишь некоторый краевой эффект, который не оказывает существенного влияния на характер распределения напряжений вдали от границы. Важным преимуществом мембранной теории является сравнительная простота соответствующей математической задачи, а также тот факт, что она не использует соотношений упругости и, следовательно, применима к весьма широкому кругу упругих и неупругих оболочек.
    Другой путь устранения неопределенности, присущей задаче определения усилий и моментов, состоит в использовании соотношений, вытекающих из линейного закона Гука. Однако при этом для получения корректной математической задачи необходимо принять еще ряд добавочных допущений.
    Принятие за основу теории оболочек упомянутой выше физической гипотезы тем самым накладывает некоторые ограничения на характер деформации оболочки. Если оболочка подчиняется требованиям физической гипотезы, то это, по существу, означает, что элементарные поперечные площадки должны рассматриваться как абсолютно жесткие фигуры (по крайней мере в первом приближении). В противном случае нельзя было бы, строго говоря, заменять непрерывное распределение сил напряжений по площадке статически эквивалентной совокупностью силы и пары (усилие и момент). Сложность вопроса состоит в трудности построения такой кинематической модели, которая находится в полном согласии с принятой физической гипотезой. Имеющее здесь место несоответствие   порождает тот факт, что полученная система дифференциальных уравнений не согласована с краевыми условиями, которые вытекают из исходных гипотез. Именно такого рода ситуация возникает, например, при использовании известной гипотезы Кирхгофа — Лява. Она налагает слишком стеснительные ограничения на деформацию. В результате настолько сильно суживается класс искомых функций, что невозможно обеспечить выполнение пяти физических краевых условий классической моментной теории оболочек; соответствующая система дифференциальных уравнений обеспечивает выполнение лишь четырех независимых краевых условий.
    Таким образом, в моментной теории оболочек, так же как и в мембранной теории, можно лишь частично обеспечить выполнение физических краевых условий. Это противоречие составляет серьезный недостаток классических построений. Стремясь устранить этот дефект, многие исследователи старались найти новые подходы к построению более совершенной теории. В этом направлении учеными разных стран было выполнено много важных исследований, среди которых укажем, например, работы Э. Рейсс-нера.
    В дальнейшем разговор будет итти главным образом о тех результатах, которые были получены в этом направлении за последние 15—20 лет автором настоящего обзора. Разработан общий метод, позволяющий строить различные варианты теории оболочек, которые классифицируются по степени порядка приближений. Следуя естественному и, по существу, довольно простому пути, удалось построить общую теорию, которая обладает необходимой математической корректностью.
    Сначала был исследован случай так называемой призматической оболочки, срединной поверхностью которой является плоскость (1955). Такие оболочки могут иметь, вообще говоря, переменную толщину. Позже эти исследования были обобщены на случай произвольной пологой оболочки (1964, 1965). Ниже вкратце охарактеризуем суть используемого метода и в общих чертах изложим полученные результаты.