Меню

  • На главную

Поиск

  • Результаты общего характера, методы решения уравнений теории упругости

    Posted 8/1/2009 в 5:35:21 ПП

    Колебания линейно упругой однородной среды описываются векторным уравнением или, соответственно, системой скалярных уравнений. Эта система уравнений имеет вещественные характеристики и потому может быть отнесена к гиперболическому типу. Краевые задачи включают еще начальные и, вообще говоря, граничные условия. Таким образом, задачи динамической теории упругости суть либо задачи Коши, либо смешанные краевые задачи.
    Одно векторное дифференциальное уравнение второго порядка может быть заменено системой двух волновых уравнений для скалярного и векторного потенциалов.
    Важный класс частных решений представляют функционально-инвариантные решения, т.е. такие решения / (х, г/, z, t) волнового уравнения, которые порождают решения F (/ (х, г/, z, t)) для любой (дважды дифференцируемой) функции F. Эти решения были найдены и изучены первоначально для двумерной задачи (С. Л. Соболев, 1934), а затем обобщены на пространственный случай (Н. П. Еругин, 1944). Приложения к конкретным задачам получены для двумерных задач. При этом существенно то, что важные сингулярные решения типа сосредоточенных воздействий описываются функционально-инвариантными решениями. Особенно удобны функционально-инвариантные решения для описания автомодельных двумерных задач.
    Другой цикл плоских и осесимметричных задач динамической упругости доведен до аналитического решения и анализа методом интегральных преобразований (методом неполного разделения переменных). Эти работы выполнены Г. И. Петрашенем и его учениками. Представляя определенные удобства для анализа решения и изучения физических следствий, метод интегральных преобразований более сложен для строго математического обоснования. В прикладных задачах такое обоснование, впрочем, обычно не требуется.
    Принцип взаимности, утверждающий некоторую симметрию между внешним воздействием и наблюдаемыми результатами деформации упругого тела, известен в статике и может быть выражен известной формулой Бетти. Распространение его на динамические упругие явления выполнено В. М. Бабичем (1962).
    Стационарные колебания упругой среды описываются эллиптической системой дифференциальных уравнений. Они могут быть приведены к интегральным уравнениям (В. Д. Купрадзе, 1953), в известной степени родственным интегральным уравнениям теории потенциала, но более сложным (из-за наличия собственных значений — частот собственных колебаний ограниченных объемов). В случае внешних задач должны быть поставлены условия излучения в бесконечности, которые обеспечивают единственность решения (А. Г. Свешников, 1953).
    Следует отметить немногочисленные попытки поставить обратные задачи динамической теории упругости, в которых по известным свойствам источника колебаний и движениям границы упругого неоднородного полупространства делаются выводы о свойствах этого полупространства.

    Тэги: