Меню

  • На главную

Поиск

  • Метод линейного сопряжения

    Posted 7/29/2009 в 7:43:44 ПП

    Применение метода линейного сопряжения функций к плоским задачам впервые было указано в работе Н. И. Мусхелишвили (1941), где рассматривался случай упругой полуплоскости. Решения основных задач в этом случае были найдены в простой и весьма изящной форме. Дальнейшее существенное обобщение метода было предложено И. Н. Карцивадзе (1943), распространившим его на случай круговой области, а также на более общий случай отображения на круг посредством рациональной функции.

    Тому же автору принадлежат первые результаты применения метода к решению конкретных задач для указанных областей. Результаты Кар-цивадзе подробно изложены в книге Н. И. Мусхелишвили (1966). Смешанная задача для плоскости с круговым отверстием рассматривалась Б. Л. Минцбергом (1948).
    Этим же методом Н. И. Мусхелишвили указал решение в замкнутой форме третьей основной задачи плоской теории упругости.
    Задачу сопряжения с жестким профилем другими методами изучал Г. Н. Положий. Граничные условия задачи были предварительно подвергнуты некоторым преобразованиям, упрощающим форму этих условий на прямолинейных участках границы. Это и дало возможность автору указать решение задачи в явном виде вначале для выпуклых многоугольников (1949, 1950), а затем, после проведения довольно тонких исследований о поведении напряжений в угловых точках при условии непрерывности вектора смещений, для многоугольников самого общего вида, а также для бесконечной плоскости с произвольным многоугольным отверстием (1957).
    Изучая основные плоские задачи для односвязных областей с углами, С. М. Белоносов (1954, 1962) предложил метод их решения, позволяющий дать теоретическое обоснование практического приема приближенного решения, основанного на закруглении углов. Конформное отображение данной области на полуплоскость Re ? > 0 позволяет для отыскания комплексных потенциалов ср и if> применить аппарат одностороннего преобразования Лапласа. В результате приемом, аналогичным указанному Н. И. Мусхелишвили (1966, § 78, 79), строятся интегральные уравнения довольно простой структуры, применимые в известном смысле к областям с угловыми точками. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро интегрального уравнения является фредгольмовым, а в общем случае кусочно-гладкого контура оно принадлежит к типу ядер Карлемана.
    Интегральные уравнения С. М. Белоносова, как было им показано (1962), разрешимы для каждой из основных задач. В частных случаях бесконечного клина или полосы интегральное уравнение решается в квадратурах, что приводит в этих случаях к решению задачи в конечном виде. В цитированной книге С. М. Белоносова, куда мы отсылаем читателя за подробностями, определен также класс областей, для которых основные задачи разрешимы в квадратурах указанным методом. Этот класс, помимо областей, близких по форме к клину, полосе и внешности гиперболы, включает в себя также круговое концентрическое кольцо.
    Изложенный выше метод Д. И. Шермана  был предложен им первоначально (1947) для решения задач кручения и изгиба определенного класса двухсвязных профилей. Применительно к плоской деформации он был проиллюстрирован затем (1951) на примере полуплоскости, ослабленной двумя неодинаковыми круговыми отверстиями. В более поздних исследованиях Шермана метод подвергался существенной переработке, что привело к устранению большого объема промежуточных вычислительных операций. В результате процесс решения стал более обозримым и принял в основной своей части характер рекуррентных соотношений.
    В многочисленных работах Д. И. Шермана и его учеников, опубликованных в последние годы, дается применение метода к конкретным задачам о плоской деформации. Были рассмотрены задачи о весомой полуплоскости с двумя отверстиями (круговыми и эллиптическими), расположенными на значительном расстоянии от прямолинейной границы среды, упругом  круге с отверстием довольно общего очертания, полуплоскости с отверстием, по краю которого впаяно кольцо из другого материала, и другие аналогичные задачи. Обстоятельный обзор результатов по применению метода интегральных уравнений с полной библиографией содержится в очерке Д. И. Шермана (1962), куда следует обратиться читателю для подробного ознакомления с этим кругом вопросов.
    К отдельным случаям многосвязной среды применялся обобщенный алгоритм Шварца, развитый в общей форме С. Г. Михлиным (1949) применительно к основной бигармонической задаче. Первая иллюстрация метода была дана тем же автором (1934) на примере весомой полуплоскости с эллиптическим отверстием, когда напряжения на бесконечности распределены по гидростатическому закону.
    Сходимость последовательных приближений по Шварцу исследовалась при некоторых ограничениях относительно области в работах С. Г. Мих-лина и А. Я. Горгидзе. Сходимость метода в общем случае была установлена С. Л. Соболевым (1936).