Меню

  • На главную

Поиск

  • Алгоритм Шварца

    Posted 7/29/2009 в 7:48:33 ПП

    Алгоритм Шварца не обладает быстрой сходимостью, что следует помнить при практическом использовании метода. Тем не менее в ряде случаев он может дать неплохие результаты. Примерами могут служить работы А. С. Космодамианского (1961, 1964), относящиеся к случаю двух неодинаковых отверстий в бесконечной среде.
    При изучении напряжений в пластинке со многими отверстиями одним из основных вопросов является определение степени ослабления среды около данного отверстия, вызванного наличием соседних отверстий. Этим вопросом, представляющим большой интерес для практики горного дела, были посвящены работы Д. И. Шермана и его последователей, о которых говорилось выше. Укажем на некоторые обобщения в этом направлении.
    В случае, когда среда ослаблена любым конечным числом отверстий, А. С. Космодамианский (1961, 1962) применял метод Бубнова — Галер-кина. Для искомых комплексных потенциалов ср и if> он пользовался представлениями в виде бесконечных сумм функций специальногр вида с неопределенными коэффициентами и получал для приближенного решения систему конечного числа алгебраических уравнений. Метод приводит к особенно хорошим результатам в случае круговых отверстий.
    При беспредельном увеличении порядка приближения алгебраические системы становятся бесконечными. Исследования того же автора показали, что эти системы обладают благоприятными свойствами даже при сколь угодно малой близости отверстий друг к другу. В случае некруговых криволинейных отверстий часто оказывается целесообразным применение методов, близких по идее к методу Н. И. Мусхелишвили (А. С. Космодамианский, 1962). Указанные приближенные способы были использованы Космодамианским и некоторыми другими авторами для решения задач в ряде конкретных случаев.
    Г. Н. Бухаринов (1937, 1939), используя аналог некоторого алгоритма последовательных приближений, разработанного Г. М. Голузиным для задачи Дирихле, изучил задачу для пластинки или диска, когда среда ослаблена любым конечным числом произвольно расположенных отверстий круговой формы.
    Значительный интерес представляет периодическая задача теории упругости. Представим себе неограниченную однородную среду, ослабленную бесконечным рядом одинаковых и периодически расположенных отверстий. Предположим, что все эти отверстия подвержены действию одинаковых внешних усилий и центры их расположены на одной и той же прямой. В случае полуплоскости считается, что линия центров параллельна границе полуплоскости и находится от нее на расстоянии, значительно превосходящем размеры отверстия.
    Наличие совместных факторов геометрической и силовой симметрии влечет за собой периодичность смещений и напряжений относительно (вещественной) переменной, изменяющейся вдоль линии центров. Периодичность, эта позволяет редуцировать задачу к сходной задаче отыскания двух функций, голоморфных в области вне некоторого замкнутого контура, Соображения, приведшие к интегральным уравнениям (5.32), применимы и здесь, что дает возможность построения для задачи интегрального уравнения Фредгольма, всегда разрешимого единственным образом. Это сделано Г. Н. Савиным (1939) (см. также С. Г. Михлин, 1949).
    Совместным применением методов функциональных уравнений и сте-пепных рядов удается в ряде случаев построить эффективное решение задачи. Укажем некоторые работы в этом направлении.
    Д. И. Шерман (1961) исследовал поле напряжений в весомой среде, ослабленной периодически расположенными отверстиями круговой и квадратной формы. Задача решалась сведением к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Количественный анализ решения позволил автору проследить за распределением напряжений вблизи отверстий в значительном диапазоне изменения численного параметра в, характеризующего относительные размеры области; не представляет исключения и случай близких между собой отверстий.
    Периодическая задача с криволинейными отверстиями общей формы рассматривалась еще раньше в работе И. И. Воровича и А. С. Космода-мианского (1959). Для искомых комплексных потенциалов авторами были предложены некоторые интегральные представления, выражающие их через другие аналитические функции, голоморфные в плоскости с одним отверстием. Затем для разыскания этих последних использовался метод малого параметра, и задача сводилась к последовательности однотипных задач для односвязной области. Сходимость метода не исследовалась. Подробный анализ с численными расчетами был проведен для случая эллиптических отверстий, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями, направленными под произвольным углом к линии центров. Некоторое дальнейшее обобщение этого подхода дано А. С. Космо-дамианским (1965).
    Следует отметить, что плоская периодическая задача теории упругости впервые была рассмотрена В. Я. Натанзоном (1935), исследовавшим случай двоякопериодической системы круговых отверстий в бесконечном теле.
    Более подробные сведения о периодической задаче читатель может найти в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана (1962).