Меню

  • На главную

Поиск

  • Понятие устойчивости упругих систем

    Posted 8/2/2009 в 3:30:46 ПП

    Устойчивость есть свойство движения (в частном случае — равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим некоторую механическую, электрическую, термодинамическую, биологическую и т. п. систему. Допустим, что известно некоторое движение этой системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь представим себе, что упомянутые параметры (все или их часть) получили небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится. Весьма важный вопрос состоит в том, насколько велики будут эти изменения, т. е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного. Если малые воздействия будут вызывать малые отклонения от невозмущенного движения, то возмущенные движения будут более или менее  плотно группироваться около невозмущенного движения. В этом случае невозмущенное движение называется устойчивым. Если же малые воздействия вызывают большие отклонения системы от невозмущенного движения, то движение называется неустойчивым. Таким образом, устойчивость есть свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения при малых возмущающих воздействиях.
    Понятие устойчивости имеет фундаментальное значение. И в природе, и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут быть использованы лишь устойчивые явления и процессы. Неустойчивые движения могут наблюдаться только непродолжительное время. Таким образом, понятие устойчивости оказывается тесно связанным с понятием осуществимости, реализуемости.
    Вопросам устойчивости принадлежит видное место в инженерных расчетах. Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой по этому проекту реальной конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями от проекта, дефектами и несовершенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что, несмотря на наличие этих отклонений, реальная конструкция будет работать примерно так же, как и соответствующая ей идеализированная конструкция. При отсутствии такой уверенности проектирование утратило бы смысл. Нетрудно видеть, что именно здесь используется концепция устойчивости. Равновесие или движение проектируемой конструкции будет устойчиво, если малые несовершенства и дефекты, малые отклонения от расчетной схемы вызовут малые отклонения от идеализированных условий работы. Если же малые несовершенства вызовут несопоставимо большие отклонения, то равновесие (движение) будет неустойчивым. Проектировщик должен выбрать размеры конструкции таким образом, чтобы при всех возможных комбинациях нагрузок равновесие (движение) конструкции оставалось устойчивым по отношению ко всем видам возмущений, которые могут встретиться, и, более того, чтобы обеспечивался определенный запас устойчивости.
    Отметим четыре элемента, которые должны войти в любое определение устойчивости. Во-первых, это указание на невозмущенное движение (равновесие), устойчивость которого исследуется. Нельзя говорить об «устойчивости системы» вообще, можно говорить лишь об устойчивости определенного движения (равновесия) этой системы. Во-вторых, определение устойчивости должно содержать указание на то, по отношению к каким параметрам движения исследуется устойчивость. Движение может быть устойчивым по отношению к одной группе параметров и неустойчивым по отношению к другой. Третьим элементом определения является указание на класс возмущающих воздействий, вызывающих отклонения от невозмущенного движения. Четвертый элемент — указание на интервал времени, в течение которого требуется близость невозмущенного и возмущенного движений.
    Математически строгое определение устойчивости движения упругих систем берет начало от классического определения устойчивости по А. М. Ляпунову (1892 г.). Теория Ляпунова была построена для систем с конечным числом степеней свободы, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Распространение теории Ляпунова на континуальные системы стало возможным после того, как она была сформулирована в терминах функционального анализа (Н. Н. Красовский, 1956; В. И. Зубов, 1957; А. А. Мовчан, 1959, 1960). Это   позволило    обобщить  на   весьма   широкий   класс метрических  пространств многие понятия, теоремы и методы, данные Ляпуновым и его последователями для конечномерного евклидова пространства. Технические приложения часто требуют обобщения данных выше определений устойчивости на случай, когда возмущаются не только начальные условия, но и коэффициенты дифференциальных уравнений, граничные условия и сама граница. Расширенные таким образом определения находятся в тесной связи с понятием корректности краевых задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще, теория устойчивости деформируемых твердых тел, соответствующая по строгости и эффективности классической теории Ляпунова, еще находится в стадии начальной разработки. Практически все конкретные результаты по устойчивости упругих и неупругих систем получены либо на основе методов, формально перенесенных из теории устойчивости дискретных систем, либо на основе линеаризованных уравнений возмущенного движения.

    Тэги: ,