Меню

  • На главную

Поиск

  • Уравнения возмущенного движения

    Posted 8/2/2009 в 3:36:19 ПП

    Во многих случаях для суждения об устойчивости можно предположить возмущения достаточно малыми и исследовать их характер, исходя из линеаризованных уравнений возмущенного движения. Покажем порядок составления линеаризованных уравнений применительно к задачам об устойчивости форм движения упругого тела. При этом будем исходить из уравнений нелинейной теории упругости в форме, предложенной В. В. Новожиловым (1948). Во многих технических задачах невозмущенное движение мало отличается от начального недеформированного состояния и лишь переход от устойчивости к неустойчивости сопровождается нарастанием деформаций. Это позволяет отождествить геометрию невозмущенного состояния с геометрией недеформированного состояния. Уравнения и граничные условия при этом существенно упрощаются, поскольку в них опускаются члены, содержащие перемещения а упругие постоянные берутся для недеформированного состояния.  Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят наглядный характер; однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари (1939), Н. А. Алумяэ (1949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1957), Н. А. Кильчевским (1963), В. М. Даревским (1963) и другими авторами. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следовательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен В. В. Болотиным (1965). Этот метод открывает возможность для оценки погрешности различных приближенных вариантов. При этом за меру погрешности принимается взятое по модулю отношение членов, отбрасываемых в выражении для плотности квадратичного функционала, к оставляемым главным членам — «энергетическая» погрешность. Был дан вывод и последовательное упрощение уравнений теории устойчивости тонких упругих оболочек на основе понятия «энергетической» погрешности.  До сих пор мы обсуждали линеаризованные уравнения возмущенного движения для упругого тела. Аналогично могут быть составлены уравнения для тел, материал которых обладает неупругими свойствами. Так, уравнения для линейного вязко-упругого материала получаются из уравнений для упругого материала, если произвести замену упругих постоянных соответствующими вязко-упругими операторами. Однако в случае упруго-пластического материала возникают существенные трудности. Поведение упруго-пластического материала весьма чувствительно к малым изменениям пути деформирования, что проявляется, в частности, в необходимости различать сколь угодно малые нагружения и разгрузку. Уравнения деформирования упруго-пластических систем, вообще говоря, не допускают линеаризации. Линеаризация возможна лишь при некоторых дополнительных предположениях (например, при предположении, что всюду происходит нагружение). Предположения такого рода сужают класс рассматриваемых возмущенных движений; поэтому результаты, полученные на их основе, имеют ограниченный или условный характер.

    Тэги: