Меню

  • На главную

Поиск

  • Методы определения критических параметров

    Posted 8/2/2009 в 3:42:04 ПП

    Основная задача теории устойчивости деформируемых систем заключается в отыскании таких значений параметров системы и (или) внешних условий, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. Эти значения называются критическими. Чаще всего с точностью до параметров задаются внешние силы; тогда говорят о критических силах. Пусть, например, задача характеризуется одним параметром р. Без ограничения общности можно принять, что р изменяется в пределах О ^ р ^ оо, причем при р = 0 невозмущенное движение устойчиво. Верхняя грань значений р = р*, при которых невозмущенное движение остается устойчивым, называется критическим значением. В более общем случае конечного числа параметров целесообразно ввести тг-мерное пространство параметров рь р2, . . рп и различать в нем области устойчивости и неустойчивости. Поверхности F (pi, р2, . . ., рп) = 0, разделяющие области устойчивости и неустойчивости, называются критическими.
    Если невозмущенное состояние есть равновесие, то может возникнуть вопрос об одновременном существовании других устойчивых равновесных состояний. Рассмотрим вновь случай одного параметра р. Верхняя грань значений р = р**, при которых невозмущенное состояние является единственным устойчивым состоянием равновесия, называется нижним критическим значением. При р** < Р < Р* достаточно сильное возмущение может перевести систему в другое устойчивое состояние равновесия. Хорошо известным примером служит явление «хлопка» в тонких оболочках, испытывающих сжатие. В тех задачах, где используется понятие нижнего критического значения, значение р = р* называется верхним критическим. Если поведение системы зависит от п параметров рь р2, . . . , рп и начало координат в пространстве параметров соответствует устойчивости, то по аналогии с предыдущим можно ввести понятие о верхней и нижней критических поверхностях.
    Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929).  Метод малых колебаний не является строго обоснованным. Если диссипация не учитывается, то при р < Р* все характеристические показатели лежат на мнимой оси. По аналогии с теорией устойчивости дискретных систем такой случай следует квалифицировать как сомнительный.При потенциальных внешних силах с помощью прямого метода Ляпунова (А. А. Мовчан, 1959) удается строго доказать устойчивость при (3 < р*. К тому же в этом случае введение сколь угодно малой полной диссипации смещает все характеристические показатели с мнимой оси на левую полуплоскость. Тогда при (3 < р* получаем аналог асимптотической устойчивости в теории дискретных систем.

    Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия существуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризующих состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность.   В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить  из уравнений. Параметр нагрузки будет входить в уравнения, вообще говоря, нелинейно.
    Значительное число частных задач теории упругой устойчивости решено на основе уравнений нейтрального равновесия. Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные из математической физики, вычислительной математики, теории колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики, теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные методы: метод Рейли — Ритца (1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова (1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено   в книгах С. П. Тимошенко (1946), П. Ф. Папковича (1939), Л. С. Лейбензона (1945), Я. А. Пратусевича (1948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные точки;  кроме  того, послекритические состояния оболочек представляют определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти единственным средством получения конкретных численных результатов (X. М. Муштари, 1946, 1955; А. С. Вольмир, 1956, 1965; X. М. Муштари и К. 3. Галимов, 1957; А. В. Погорелов, 1962, 1966, 1967, и др.). Многие задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича (1939), согласно которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть — в вариационном смысле. Получил распространение также метод сведения задачи устойчивости к обыкновенным дифференциальным уравнениям (В. 3. Власов, 1932, 1939).
    Применяемый к расчету устойчивости оболочек при конечных прогибах метод последовательных нагружении (В. В. Петров, 1959) является модификацией метода последовательных приближений. Метод игнорирования форм выпучивания при определении критических сил оболочек, предложенный сперва для линейных задач (В. 3. Власов, 1949), был распространен на нелинейные задачи для однородных (А. В. Саченков, 1963; К. 3. Галимов, 1965) и слоистых оболочек (Э. И. Григолюк, П. П. Чулков, 1965).
    Ряд результатов в теории упругой устойчивости получен при помощи других  аналитических  методов,   например   метода  малого параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936; С. А. Алексеев, 1956), метода линейных интегральных уравнений (Н. В. Зволинский, 1937; Я. Л. Нудельман, 1949), асимптотических методов (И. И. Ворович, 1955; В. М. Корпев, 1967). Широко применяются численные и матричные методы (А. Ф. Смирнов, 1947, 1958; А. А. Петропавловский, 1961; А. Ф. Смирнов с сотрудниками, 1964,  и др.). Для расчета стержней и стержневых систем используются методы   строительной   механики: метод сил, метод деформаций, метод начальных параметров (Ы. В. Корноухов, 1939, 1949; А. Ф. Смирнов, 1947; И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, 1947; Н. К. Снитко, 1952, 1956; В. Г. Чудновский, 1952; А. Р. Ржаницын, 1955; С. А. Рогицкий, 1961; Н. И. Безухов и О. В. Лужин, 1963, и др.). Применяются качественные методы, позволяющие получить для критических параметров односторонние и двухсторонние оценки. Эти методы берут начало от работы П. Ф. Папковича (1937), в которой устанавливаются некоторые общие свойства критических   поверхностей в пространстве  параметров. Развитие качественных    методов    содержится  в работах А. Ф. Смирнова (1947),Я. Л. Нудельмана (1949), Р. Р. Матевосяна (1961), Б. М. Броуде (1964), И. И. Гольденблата (1965) и др.
    Если внешние силы иепотенциальиы, то статический и энергетический методы, вообще говоря, непригодны. Количество неконсервативных задач упругой устойчивости, для которых удается получить точное решение, весьма невелико. Обычный путь решения состоит в переходе к некоторой эквивалентной системе с конечным числом степеней свободы. Такую систему можно получить, например, если распределенную массу заменить конечным числом сосредоточенных масс (Е. Л. Николаи, 1928, 1929; К. С. Дейнеко и М. Я. Леонов, 1955). Другой путь состоит в применении метода Бубнова; при этом решение ищется в виде ряда с коэффициентами, которые являются неизвестными функциями времени. Еще один способ заключается в решении задачи Коши для достаточно широкого класса начальных возмущений. Это решение может быть осуществлено на моделирующих или цифровых вычислительных машинах. Моделируя различные возмущенные движения, мы можем сделать вывод и об устойчивости невозмущенного движения. Этот способ применялся А. С. Вольмиром с сотрудниками (1959, 1960), В. В. Болотиным и сотрудниками (1959, 1960), В. И. Феодосьевым (1963) и другими.

    Тэги: