Меню

  • На главную

Поиск

  • Устойчивость упругих оболочек (нелинейная теория)

    Posted 8/2/2009 в 3:56:37 ПП

    Важнейшим стимулом для развития нелинейной теории упругих оболочек явилось систематическое расхождение между результатами линейной теории и опытными данными. Для многих типов оболочек и условий нагружения опытные критические усилия оказываются значительно ниже, чем значения, вычисленные согласно линейной теории. Явление потери устойчивости нередко происходит по типу «прощелкивания», «хлопка», т. е. сопровождается скачкообразным нарастанием деформаций с заметным изменением формы срединной поверхности. При этом наблюдаемая картина послекритической деформации обычно существенно отличается от формы бифуркации, которую предсказывает линейная теория.
    Первые исследования по нелинейной теории тонких упругих оболочек относятся к предвоенному периоду (работы Л. Г. Доннела, Т. Кармана и С. С. Цяня, X. М. Муштари). Они существенным образом основаны на теории прощелкивания стержней, развитой С. П. Тимошенко (1925, 1935 гг.), К. Б. Бицено (1929 г.), К. Маргерром (1938 г.). После войны исследования развернулись широким фронтом. Руководящая идея этих исследований состояла в том, что для задач устойчивости оболочек типичен факт существования устойчивых форм равновесия, отличных от невозмущенной формы, при значениях параметра нагрузки, меньших классического критического значения. Большое число работ было посвящено отысканию нижних критических усилий для различных типов оболочек и граничных условий и типов нагружения. Устойчивость цилиндрических оболочек и панелей рассматривалась А. С. Вольмиром (1944—1956), X. М. Муштари, К. 3. Галимовым, М. С. Корнишиным и А. В. Саченковым (1946—1957), М. А. Колтуновым (1952), Н. А. Алумяэ (1954), О. И. Те-ребушко (1956) и многими другими авторами. Устойчивость сферических оболочек и панелей изучалась В. И. Феодосьевым (1946—1961), X. М. Муштари и Р. Г. Суркиным (1950—1956), Э. И. Григолюком (1956, 1959), Н. К. Лебедевой (1964), И. И. Воровичем и В. Ф. Зипаловой (1966) и др. Устойчивость конических оболочек рассматривал Э. И. Григолюк (1956). Вопрос о существовании нижних критических усилий изучался И. И. Воровичем (1955, 1957). Рассматривалось прощелкивание биметаллических оболочек при нагреве и охлаждении (Д. Ю. Панов, 1948; Э. И. Григолюк, 1953). Изучалось послекритическое поведение трехслойных оболочек (цилиндр, сфера, конус) (Э. И. Григолюк и П. П. Чулков, 1965). Более подробные сведения содержатся в книгах X. М. Муштари и К. 3. Галимо-ва (1957), А. С. Вольмира (1956, 1967), а также в обзорной работе А. С. Вольмира (1966).
    Обычно исследования основываются на теории пологих оболочек. Уравнения можно построить и для многослойных оболочек однородных, ортотропных, анизотропных при конечных прогибах. Это сделано в работах Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова (1965). Суть дела в следующем. Оболочка, независимо от того, является она слоистой или нет, разбивается на некоторое число п фиктивных слоев. Далее, для перемещений точек каждого фиктивного слоя принимается линейный закон распределения в зависимости от поперечной координаты. Условия сопряжения слоев и гипотеза о несжимаемости материала каждого слоя в поперечном направлении позволяют охарактеризовать перемещения точек всего пакета 2п -f- 3 независимыми функциями от координат параметризации поверхности оболочки.
    Принцип возможных перемещений дает ровно 2п -f- 3 уравнения равновесия, которые, на основе закона Гука, записываются относительно перемещений. Ясно, что такой подход позволяет получить двумерную систему уравнений бесконечного порядка, эквивалентную системе трехмерных уравнений упругости слоистой оболочки в предположении ее несжимаемости в поперечном направлении; для этого достаточно число фиктивных слоев устремить к бесконечности равномерно по всей толщине оболочки. Ограничение, накладываемое несжимаемостью материала слоев в поперечном направлении, не является принципиальным, поскольку от него легко избавиться, считая, что и нормальные перемещения в пределах каждого слоя распределены по линейному закону от поперечной координаты. Выражая перемещения с помощью дифференциальных операций через три произвольные функции, удается исходную систему уравнений привести к трем эквивалентным ей разрешающим уравнениям того же порядка. Преимущество разрешающих уравнений по сравнению с исходной системой состоит главным образом в том, что дифференциальный оператор разрешающей системы содержит резко убывающие коэффициенты с увеличением порядка производных. Это позволяет в зависимости от вида внешней нагрузки и типа краевых условий удерживать необходимый порядок производных, т. е. фактически учитывать только наиболее существенные краевые эффекты. Математически введение функции напряжений F и функций перемещений равносильно разложению напряженно-деформированного состояния оболочки по собственным функциям полноосного положительно-определенного оператора, специально приспособленного к структуре данной слоистой оболочки, а усечению операторов разрешающих уравнений соответствует удержание главных коэффициентов разложения.
    Последующее развитие исследований привело к существенному пересмотру точки зрения на эту проблему. Чтобы сделать ситуацию более понятной, рассмотрим подробнее задачу об устойчивости круговой цилиндрической оболочки, испытывающей осевое сжатие.
    Классическая теория при некоторых упрощениях дает для этой задачи приближенную формулу. Опытные значения обычно лежат в пределах, которым в этой формуле соответствуют значения числового коэффициента от 0,18 до 0,60. При этом верхнее значение получается для наиболее тщательно изготовленных оболочек и для наиболее аккуратных условий эксперимента. Теоретическое значение нижней критической силы вычислялось для этой задачи приближенно — путем применения вариационных методов либо к системе уравнений нелинейной теории оболочек, либо к соответствующему энергетическому функционалу. Число варьируемых параметров в ранних работах было весьма невелико. Не менее драматической оказалась ситуация с задачей об устойчивости замкнутой сферической оболочки, находящейся под внешним давлением. Приведем некоторые данные о коэффициенте в формуле, если применять ее для нахождения нижнего критического давления: X. М. Муштари и Р. Г. Суркин (1950) получили значение 0,10, В. И. Феодосьев (1954) —0,13 (отрицательное значение), X. М. Муштари (1955) + 0,11, А. Г. Габрильянци В. И. Феодосьев (1961) + 0,06.
    Объяснение этих и аналогичных результатов состоит в следующем. Задание формы срединной поверхности после хлопка в виде конечного ряда сильно ограничивает класс возможных форм ее равновесия. Между тем оболочка — континуальная система. Не исключена возможность, что для нагруженных оболочек существует бесчисленное множество докритиче-ских форм равновесия, отличных от невозмущенной, в том числе некоторое количество устойчивых форм равновесия. Увеличение числа членов ряда расширяет класс возможных форм равновесия. Их практическое значение, впрочем, весьма ограниченно. Для того чтобы реализовать эти формы, требуется конечное возмущение специального класса и достаточно большой величины.
    Главной причиной снижения опытных критических сил по сравнению с их классическими значениями служат начальные отклонения срединной поверхности от идеальной формы, несовершенства опорных закреплений, наличие остаточных напряжений и т. д. Верхнее критическое усилие для реальных оболочек, как правило, весьма чувствительно к изменению параметров начальных несовершенств. Этим объясняется как факт снижения опытных критических сил, так и факт их большого разброса. Последнее обстоятельство делает необходимым учет случайного характера начальных несовершенств, что возможно лишь в рамках статистических методов.
    Несколько лучше обстоит дело с устойчивостью пологих панелей, опирающихся на достаточно жесткие контуры. Устойчивость цилиндрических, конических и сферических панелей в нелинейной постановке рассматривалась А. С. Вольмиром (1956), Э. И. Григолюком (1956, 1960), О. И. Теребушко (1958), И. И. Воровичеми В. Ф. Зипаловой (1966). Наличие достаточно жесткого контура сильно сужает класс возможных форм потери устойчивости панели, поэтому невысокие приближения дают здесь обычно достаточно достоверный результат. Сходная ситуация может встретиться и при расчете подкрепленных оболочек.
    Новое направление в нелинейной теории оболочек развивается А. В. Погореловым (1960,1962,1966, 1967). А. В. Погорелов ввел предположение о том, что форма прощелкнутой части срединной поверхности изомет-рична ее первоначальной форме. При этом прощелкнутая часть стыкуется с остальной частью срединной поверхности по некоторым ребрам, в окрестностях которых происходит местное сгибание. Поскольку метод вычисления перемещений и критических усилий у А. В. Погорелова мало отличается от обычного энергетического метода, то наиболее существенной частью предложений А. В. Погорелова является введение нового широкого класса функций, приближенно описывающих деформации в тонких оболочках. А. В. Погорелов произвел вычисления для весьма широкого класса задач и сопоставил результаты вычислений с проведенными им же оригинальными экспериментами. Метод А. В. Погорелова применялся также В. И. Ба-бенко (1966) и В. В. Михайловым (1966). Обсуждение работ А. В. Погорелова содержится в приложении И. И. Воровича к книге А. В. Погорелова (1966).

    Тэги: