Меню

  • На главную

Поиск

  • Плоские задачи

    Posted 7/29/2009 в 7:50:26 ПП

    За последние годы много внимания уделялось разысканию эффективных методов решения плоских задач, когда основной закон упругости нелинеен, но предположение о малости деформаций сохранено. Особый интерес вызывали вопросы, связанные с определением концентрации напряжений в пластинках и оболочках с отверстиями.
    Если нелинейность закона упругости охарактеризовать малым численным параметром, то вместо бигармонического уравнения в этом случае для функции напряжений получится нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с главным бигармони-ческим членом. Для интегрирования этого уравнения при соответствующих граничных условиях использовался метод малого параметра, причем отклонения закона упругости от линейного и формы отверстия от круговой считали малыми одновременно. Разлагая функцию напряжений, компоненты вектора смещения, а также функции, фигурирующие в граничных условиях задачи, в ряды по двум параметрам, характеризующим названные выше отклонения, получаем последовательность некоторых бигармо-нических задач для плоскости с круговым отверстием, которые и подлежат решению приближенными способами.
    Этим путем был решен ряд конкретных задач нелинейной теории упругости.
    Численные расчеты показывают, что учет физической нелинейности приводит к более равномерному, по сравнению с линейной теорией, распределению напряжений вблизи отверстий; коэффициент концентрации напряжений становится меньше.
    С результатами в этом направлении можно подробно ознакомиться по работам Г. Н. Савина (1965), А. Н. Гузя, Г. Н. Савина и И. А. Цур-пала (1964).
    6.2. Кусочно-однородная среда. Подкрепленные и усиленные пластинки. Кусочно-однородной мы будем называть упругую среду, составленную из конечного числа различных по форме и упругим свойствам однородных частей, соединенных в одно сплошное тело тем или иным способом. Соединения разнородных частей могут быть как естественными, так и искусственными. Последние всегда служат цели усиления несущей способности конструкций и часто применяются в инженерной практике.
    Представим себе конечную или бесконечную пластинку, имеющую некоторое число отверстий, в которые вставлены сплошные или ослабленные в свою очередь отверстиями шайбы из другого материала. При соединении шайбы с пластинкой она может быть впаяна в отверстие вдоль обвода, запрессована или, скажем, посажена в нее в горячем либо холодном состоянии. Каждый раз, если шайба не впаяна, предполагается, что контуры сопряженных между собой упругих частей приводятся в соприкасание без зазоров и удерживаются от скольжения друг по другу.
    В этом разделе будем дополнительно считать, что соприкасающиеся поверхности тел нигде не отстают друг от друга вследствие деформации.
    Подкреплять можно, разумеется, не только края отверстий. Пластинку можно усилить кольцами по любому ее краю, а также во внутренних частях, не прилегающих к границе. В последнем случае говорят об усилении пластинки ребрами жесткости.
    Полная граница L составного тела будет состоять из наружного конту-тура пластинки (если, разумеется, она не простирается в бесконечность во все стороны), из контуров неподкрепленных отверстий и, наконец, из внутренних контуров вставляемых шайб, если они имеются. Тело может испытывать любые воздействия как внутри, так и на границе.
    Граничные условия на неподкрепленном крае пластинки будут, очевидно, обычными, соответствующими заданному на нем режиму силовых воздействий или характеру его закрепления. Условия же на линии раздела сред будут различными в зависимости от способа соединения прилегающих к ней частей.

    Одним из ранних исследований, относящихся к телам неоднородной упругости и выполненных на базе методов комплексного переменного, была работа С. Г. Михлина (1935), в которой с помощью ядра Шварца упомянутого выше , изучалась общая задача о кусочно-однородной среде методом интегральных уравнений. Некоторые частные случаи были рассмотрены в эффективном виде в другой работе того же автора (1934).
    В дальнейшем исследования задач с неоднородной упругостью стали интенсивно развиваться. Значительные успехи были достигнуты в этой области на Украине, где соответствующие вопросы были в течение длительного времени предметом исследования многих авторов. Результаты этих исследований изложены в монографиях Г. Н. Савина (1951), Д. В. Вайн-берга (1952), М. П. Шереметьева (1960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш-мана (1964). Ниже мы коснемся вкратце некоторых основных результатов.