Меню

  • На главную

Поиск

  • Устойчивость упругих и упруго-пластических систем

    Posted 8/2/2009 в 4:01:04 ПП

    Поскольку задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел, то они обычно ставятся и решаются в рамках прикладных теорий стержней, пластин и оболочек. Тем не менее имеется несколько причин для рассмотрения некоторых задач устойчивости с точки зрения общей теории упругости.
    Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948; В. В. Болотин, 1956, 1965; А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в § 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбеязона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости; внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю.
    Если система не обладает достаточной гибкостью, то потеря устойчивости может происходить в упруго-пластическом состоянии. Ф. Энгессер развил теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом упругости в предположении, что во всех точках поперечного сечения происходит процесс нагружения. В этом случае критическая сила определяется не модулем упругости, как в задаче для упругого материала, а касательным модулем (мы получаем касательно-модульную критическую силу). Ф. С. Ясинский по поводу этой теории заметил, что следует учесть разгрузку в части сечения. Это приводит к существованию нейтральной оси сечения. Учитывая разгрузку в поперечном сечении в предположении, что результирующая осевая сила остается неизменной, Ф. Энгессер получил формулу для критической силы, которая отличается от соответствующей формулы для упругого стержня тем, что вместо модуля упругости в нее входит приведенный модуль, зависящий от формы поперечного сечения стержня. В течение почти всей первой половины нашего столетия считалось, что приведенно-модульная нагрузка и есть критическая нагрузка для упруго-пластических систем и «что первоначальный результат Энгессера ошибочен. Было опубликовано большое число работ, в которых на основе этой концепции решаются различные задачи.
    Приведенно-модульная концепция явилась результатом переноса теории бифуркаций форм равновесия из теории упругой устойчивости на упруго-пластические задачи. Этот перенос лишен основания, что стало общепризнанным фактом лишь после того, как на простых моделях была показана ограниченность приведенно-модульной концепции. Оказалось, что нижняя граница критических сил равна касательно-модульной  нагрузке, величина которой подсчитывается по аналогичной формуле для упругого стержня, если подставить в нее касательный модуль вместо модуля Юнга. При этом нетрудно указать условия, при которых реализуется именно касательномодульная критическая нагрузка.
    Этот вопрос изучался Ю. Н. Работновым (1952), Я. Г. Пановко (1954—1965), В. Д. Клюшниковым (1957, 1964), Г. В. Ивановым (1961, 1963), Ю. А. Чернухой (1966) и др. В частности, В. Д. Клюшников рассмотрел задачу об устойчивости простейшей упруго-пластической системы в динамической постановке и показал, что невозмущенное состояние системы устойчиво вплоть до достижения касательно-модульной нагрузки.
    Вывол о том, что касательно-модульная и приведенно-модульная нагрузки ограничивают интервал действительных критических усилий, был бы весьма привлекателен, тем более что для многих систем численная разница между этими значениями невелика. Имеется, однако, пример, в котором критическое усилие, по-видимому, превышает приведенно-модульное значение. А. А. Ильюшин (1960) и В. Г. Зубчанинов (1960) рассмотрели выпучивание упруго-пластического стержня, входящего в состав статически неопределимой стержневой системы. Если система оказывает на стержень разгружающее влияние, то, как указывают авторы, прямолинейная форма стержня может оставаться устойчивой и при некотором превышении приведенно-модульной нагрузки.
    До сих пор достаточно сложные задачи упруго-пластической устойчивости рассматриваются в ограниченной постановке, аналогичной касательно-модульной или приведенно-модульной концепциям. Конечные результаты зависят при этом и от того, какой вариант теории пластичности используется. Устойчивость упруго-пластических стержней рассматривалась Л. М. Качановым (1951, 1956), А. В. Геммерлингом (1952, 1959, 1965), Я. Г. Пановко (1954, 1962), А. Р. Ржаницыным (1955), В. В. Пи-наджяном (1956), Ю. Р. Лепиком (1957), Б. П. Макаровым (1965). Общая теория устойчивости пластин и оболочек на основе деформационной теории была предложена А. А. Ильюшиным (1944). Им же было дано решение ряда интересных практических задач. На основе касательно-модульной концепции общая теория устойчивости оболочек развивалась Э. И. Гри-голюком (1957, 1958) в рамках теории типа течения и деформационного типа с учетом упругой сжимаемости материала. Ряд задач устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости был рассмотрен Л. А. Толокон-никовым (1949—1955), С. М. Поповым (1951, 1954), Ю. Р. Лепиком (1954— 1957), Л. М. Качановым (1956), В. Д. Клюшниковым (1957), Э. И. Григо-люком (1958) и др. Общая теория устойчивости двухслойных оболочек за пределом упругости развита Э. И. Григолюком (1958), ее обобщение дано Э. И. Григолюком и В. В. Кабановым (1966), которые оценили влияние перестановки слоев на величину критических сил. Расчет анизотропных оболочек за пределом упругости проводил В. В. Кабанов (1966, 1967). Современному состоянию теории устойчивости оболочек за пределом упругости посвящен обзор Э. И. Григолюка (1966).

    Тэги: