Меню

  • На главную

Поиск

  • Статистические методы в теории упругой устойчивости

    Posted 8/2/2009 в 5:26:43 ПП

    Между понятиями устойчивости и вероятности имеется глубокая связь. Устойчивые состояния и устойчивые движения в природе и технике наиболее вероятны, а неустойчивые — наименее вероятны и даже невоз-можны. Статистический подход к проблеме устойчивости в некотором смысле является расширением классического подхода. Устойчивость в классическом смысле — это, по существу, свойство системы оставаться вблизи рассматриваемого. состояния (движения). Статистический подход состоит в исследовании распределений параметров системы вблизи рассматриваемого состояния и, таким образом, содержит в себе более детальное описание поведения системы.
    Значение статистических методов для теории упругой устойчивости определяется в первую очередь высокой чувствительностью упругих систем к малым изменениям ряда параметров и случайным характером изменения этих параметров. Для тонких стержней, пластин и особенно оболочек такими параметрами служат малые начальные отклонения от идеальной формы (начальные несовершенства). Именно влиянием малых начальных несовершенств объясняется большой разброс экспериментальных критических сил для тонких упругих оболочек (Б. П. Макаров, 1962; А. С. Вольмир, 1963, и др.).
    Решение стохастических задач для распределенных нелинейных систем встречает серьезные математические трудности. Поэтому обычно распределенную систему заменяют эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы. Одна из задач состоит в отыскании распределения критических сил по заданному распределению параметров начальных возмущений. Пусть известна детерминистическая связь между критическим параметром р  и параметрами возмущений щ, и2, . . ., ит. Тогда при некоторых ограничениях (В. В. Болотин, 1958) плотность распределения вероятности р (Р*) может быть выражена через совместную плотность р (щ, и2, . . ., ит). Этот метод был применен для анализа распределения критических сил пологой цилиндрической панели, нагруженной осевыми давлениями. Вычисленные значения математических ожиданий и дисперсий оказались близки к опытным значениям. Б. П. Макаров (1962, 1963) и В. М. Гончаренко (1962) рассмотрели ряд других случаев: осевое и гидростатическое сжатие круговой цилиндрической оболочки, гидростатическое сжатие цилиндрической панели и др. Б. П. Макаров (1962) и А. С. Вольмир (1963) произвели статистическую обработку экспериментальных данных по испытаниям оболочек на устойчивость; в частности, Б. П. Макаров (1962) исследовал экспериментальные данные с точки зрения высказанной им гипотезы о возможности бимодальных распределений критических сил.
    Задача о поведении упругих систем с малыми случайными несовершенствами при квазистатическом возрастании внешних сил, строго говоря, выходит за пределы теории упругой устойчивости. Пусть задана детерминистическая зависимость параметров состояния системы v±, v2, . • vn от параметра нагрузки р и параметров щ, и2, . . ит. Тогда при некоторых ограничениях может быть вычислена совместная плотность вероятности р (v±, v2, . . ., г;п|Р) для параметров у1? у2, . . ., ип. Вероятность пребывания системы в пределах области допустимых значений параметров, включающей устойчивое положение равновесия, определится путем интегрирования плотности р (у1? и2, . . ., ип\ Р) по этой области. Если максимальное  значение параметра нагрузки р есть величина случайная, то  применяется формула полной вероятности. Вычисленная таким путем вероятность имеет смысл меры надежности системы (В. В. Болотин, 1958, 1965).  Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для непрерывного марковского процесса в пространстве конфигураций. В работах В. М. Гончаренко (1962, 1964), М. Ф. Диментберга (1962, 1964), А. С. Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1964, 1965) эволюция упругих систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ составляет приближенная оценка вероятности «хлопка» (первого выхода за пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для простейшей модели оболочки — нелинейной системы с одной степенью свободы). Эта задача изучалась также Б. П. Макаровым (1965) методом электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В. В. Болотин и Б. П. Макаров (1965) предложили оценивать устойчивость равновесия по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального уравнения Л. С. Понтрягина. Дальнейшие результаты даны в работе Б. П Макарова (1965).
    Рассмотрение вероятностных задач устойчивости упругих систем, трактуемых как распределенные системы, еще только начато. В. В. Болотин и Б. П. Макаров (1967) в линейной постановке решили задачу о докри-тических деформациях пологой упругой оболочки с начальными неправильностями. Предполагалось, что масштабы неправильностей и корреляции малы по сравнению с характерным размером оболочки и что начальные неправильности образуют однородное эргодическое случайное поле. Получены формулы для корреляционных функций, спектральных плотностей и дисперсий полных и дополнительных перемещений, дополнительных усилий в срединной поверхности и т. д. Исследовано изменение спектрального состава неправильностей и характера корреляционных связей меяеду различными типами неправильностей с увеличением нагрузки.

    Тэги: