Меню

  • На главную

Поиск

  • Способ Шермана

    Posted 7/29/2009 в 8:12:18 ПП

    Начнем со сравнительно простого случая, когда основная пластинка и упругие шайбы, вставляемые в отверстия, изготовлены из одного и того же материала. В этом случае мы должны предположить, что контуры шайбы в ненапряженном состоянии несколько отличны от контуров соответствующих отверстий. Для приложений особенно интересен случай, когда шайбы запрессованы либо посажены в отверстие с заданным упругим натягом. Общий способ решения этой задачи был предложен Д. И. Шерманом (1940). Способ этот основан на аналитическом продолжении функции, подобном изложенному в п. 5.3.5. Согласно этому способу рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной области без каких-либо условий на линии раздела. При этом, однако, вновь полученная задача будет (на наружном контуре) иметь несколько измененное граничное условие; в правой части равенства, представляющего это условие, появится дополнительное слагаемое, выражающее некоторое фиктивное воздействие на всю систему в целом.
    В случае, когда включения имеют круговую форму, упомянутый только что поправочный член может быть представлен в явном виде.  Он имеет особенно простую форму в часто встречающемся на практике случае, когда скачок смещения направлен по нормали и величина его постоянна.
    В конечном счете в случае круговых включений решение задачи доводится здесь до конца для составных областей, отображаемых на круг посредством рациональной функции. Этим путем было рассмотрено большое число конкретных задач. Подробные указания на соответствующие публикации имеются в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана (1962).
    Иначе дело обстоит в случае включений с иными упругими характеристиками. Рассмотрение жесткого включения, очевидно, не вносит, никаких осложнений, ибо в этом случае мы будем иметь дело с обычной плоской задачей при заданных на контуре отверстия упругих смещениях (вторая основная задача). Задача об упругих включениях из различных материалов значительно сложнее.
    Эта задача для одного включения, при к = 1 в (6.3) — (6.5), исследовалась методом, аналогичным намеченному в п. 5.3.5 (Д. И. Шерман, 1958). Для нахождения вспомогательной функции со (?), вводимой на этот раз на всей границе пластинки Li + L2, автор получил интегральное уравнение Фредгольма и дал его исследование. В частном случае эксцентричного кругового кольца с включением, рассмотренном для иллюстрации метода, интегральное уравнение заменяется, как и прежде, бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, позволяющей довести решение до численных результатов.
    Случай инородных круговых концентрических колец, последовательно вложенных одно в другое, как было отмечено выше, легко поддается рассмотрению методом степенных рядов.
    Этот же метод в соединении с функциональным уравнением позволяет рассмотреть задачу о кольцевых подкреплениях в несколько более общем случае, например, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. При таком предположении случай отображения  изучался М. П. Шереметьевым (1949), который привел подробное решение с численными результатами для подкрепления отверстия в виде софокус-ного эллиптического кольца. В упомянутой монографии Г, Н. Савина (1951) приводятся результаты вычислений и для других форм упругого подкрепления, доставляемых отображением, и напряжения на подкрепленном контуре отверстий сравниваются с теми же напряжениями в двух предельных случаях, когда подкрепляющее кольцо абсолютно гибкое (пустота) или когда оно абсолютно жесткое.
    И. Г. Араманович (1955), развивая метод Д. И. Шермана, построил эффективное решение задачи о напряжении в полуплоскости с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом из другого материала. Нагружение среды может здесь осуществляться различными способами, например растяжением ее, нормальным давлением на внутреннем контуре впаянного кольца, сосредоточенной нагрузкой на прямолинейной границе и др. Схема решения такая же, как и прежде (сведецие к бесконечной системе уравнений). Установлено, что полученная здесь система уравнений квазирегулярна при любой близости отверстия к краю полуплоскости.