Меню

  • На главную

Поиск

  • Изотропное упругое тело, плоская задача

    Posted 8/2/2009 в 5:51:13 ПП

    Изотропное упругое тело, плоская задача. Исследования по теории напряженного состояния вблизи отверстия, подобного разрывам при образовании трещин, были начаты Ч. Э. Инглисом в 1913 г. и Н. И. Мусхелишвили (1919), который в рамках классической теории упругости получил решение задачи о равновесии бесконечного тела с эллиптическим отверстием (в частности, с прямолинейной щелью) под действием произвольного поля напряжений. Основополагающими работами в механике разрушения являются работы А. А. Гриффита (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1920, A221 : 587, 163-298; Proc. 1st Intern. Congr. Appl. Mech. (1924), 1925, p. 55—63), который, используя решения Ч. Э. Инглиса для бесконечного хрупкого тела с прямолинейной трещиной, определил критические значения разрывающих напряжений в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния. Он учел явление поверхностного сцепления вблизи края трещины и предложил энергетический критерий для равновесных трещин.
    В дальнейшем вопросу развития изолированных прямолинейных трещин в бесконечном хрупком теле при различных вариантах задания внешних нагрузок было посвящено большое количество работ.
    Д. И. Шерман (1940) и Н. И. Мусхелишвили (1942) дали точное решение основных задач теории упругости для произвольного числа разрезов вдоль одной прямой или окружности в бесконечной плоскости.
    В работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954) была решена задача об определении просвета между двумя приближаемыми одна к другой упругими полуплоскостями, возникающего вследствие некоторых сил, приложенных к берегам просвета. Примерно в это же время (1955—1960) некоторые задачи о трещинах в горных породах были поставлены и решены как задачи математической теории упругости без учета прочностных свойств пород у краев выработок (см. п. 3.8).
    В 1959 г. были предложены некоторые модели локального разрушения в конце хрупкой трещины (см. указанную выше модель М. Я. Леонова и В. В. Панасюка и моделирование сил сцепления у конца трещины Г. И. Баренблатта, эквивалентное по своим результатам построению Гриффита — Ирвина).
    В работах В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого (1965) исследован общий случай двухосного растяжения пластины с произвольно ориентированной трещиной. В. И. Моссаковский и др. (1968) рассмотрели задачу о распространении прямолинейной трещины под некоторым углом к первоначальному направлению, когда в процессе роста на конце трещины появляется точка излома. Вопросу влияния начальных напряжений на характер распространения хрупкой трещины посвящена работа И. А. Маркузона (1965). Здесь нагрузка выбрана так, что в отсутствие начальных напряжений трещина во всех случаях развивается устойчиво, а начальные напряжения являются причиной, создающей неустойчивость. Нужно отметить, что начало роста трещины нельзя отождествлять с полным разрушением. Последнее имеет место только в случае лавинообразного неустойчивого распространения. Как показывают эксперименты и расчеты, во многих случаях взаимодействия трещин с препятствиями и границами, а также в задачах взаимодействия систем трещин на значительном участке изменения нагрузки развитие трещины протекает устойчиво. Очевидно, что наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, работающих зачастую в определенных режимах изменения внешних нагрузок гораздо менее опасно, а усиление таких сооружений за счет постановки заклепок и пластин, высверливания отверстий на пути распространения трещин и т. д. может значительно продлить их «жизнь». Задача о подкреплении трещины поперечными ребрами жесткости была решена в работе Е. А. Морозовой и В. 3. Партона (1961).
    Большое значение при расчетах на прочность и разрушение имеет вопрос взаимного влияния коллинеарных или произвольным образом ориентированных систем трещин. Г. И. Баренблаттом и Г. П. Черепановым (1960) получено решение задачи о периодической системе разрезов, которая может быть использована для определения длины щели в полосе. В той же работе исследовано влияние границ тела на распространение трещин и рассмотрен случай двух трещин одинаковой длины, поддерживающихся в раскрытом состоянии сосредоточенными силами, приложенными к их поверхности. Более детальное исследование вопроса о предельном равновесии пластины с двумя коллинеарными трещинами равной длины и вывод расчетных формул были даны в работах В. В. Панасюка и Б. Л. Лозового (1961), Б. Л. Лозового (1964), Л. Т. Бережницкого (1965). Задача о развитии двух коллинеарных трещин разной длины рассмотрена В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым (1962). Б. Л. Лозовым (1964) определены критические напряжения для пластины с тремя коллинеарными трещинами.
    Л. Т. Бережницкий (1965) рассмотрел наиболее общий случай трещин разной длины, расположенных вдоль прямой под углом к направлению растяжения, причем полученные результаты позволяют определять критические напряжения в задачах с произвольным числом трещин разной длины, расположенных вдоль одной оси. В случае систем трещин разной длины, параллельных некоторому направлению, наибольшую опасность представляет та из них, которая начинает двигаться первой.
    Известно, что реальные материалы, какой бы предварительной обработке они ни подвергались, содержат большое число микродефектов различного рода, развитие которых под действием приложенного поля напряжений приводит к появлению систем трещин, где характер их взаимного влияния может быть весьма разнообразен.
    В. 3. Партон (1965), используя асимптотические представления В. Т. Койтера, получил решение задачи для упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой трещин одинаковой длины (шахматное расположение трещин), каждая из которых подвержена однородному растягивающему напряжению. В этой работе было показано, что определенное взаимное расположение трещин приводит к их стабилизации (устойчивое развитие). При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Битов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу о полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра.  Впервые плоская смешанная задача для щели рассматривалась в работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954). Важные в практическом отношении задачи расклинивания также являются смешанными задачами теории упругости. Решение задачи расклинивания хрупких тел представляет собой своеобразную комбинацию решений контактной задачи теории упругости и задач математической теории трещин.
    Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Баренблатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряясений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости.
    Точные решения задач расклинивания полосы отсутствуют. Наряду с работой И. В. Обреимова (1930) упомянем исследования В. Д. Кузнецова (1954), М. С. Мецика (1958), Н. Н. Давиденкова (1960), в основе которых также лежит балочное приближение.

    Тэги: