Меню

  • На главную

Поиск

  • Осесимметричные и пространственные задачи для упругого изотропного тела

    Posted 8/2/2009 в 5:56:06 ПП

    Впервые распределение напряжений для хрупкого трехмерного изотропного тела, содержащего плоскую круглую в плане трещину, при растяжении на бесконечности постоянным напряжением определил М. Я. Леонов (1939).
    В дальнейшем эта задача при различных вариантах задания внешней нагрузки исследовалась М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком (1961), а в последнее время (1968) Е. М. Морозовым и В. 3. Партоном. Найденные здесь в ряде случаев соотношения, связывающие длину трещины с приложенными нагрузками, вполне аналогичны соответствующим случаям плоской деформации и могут быть получены с точностью до безразмерного постоянного множителя из анализа размерностей (Л. И. Седов, 1957).
    Первая основная задача теории упругости для пространства с плоской круглой щелью в общем виде была решена В. И. Моссаковским (1955). Случай кольцевой (круглой в плане) трещины рассмотрен в работе В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко (1965). Полученное ими значение величины предельных напряжений отличается от полученного в 1945 г. результата Р. А. Зака только числовым множителем.
    Осесимметричная задача теории упругости для неограниченного пространства, содержащего две плоские круглые щели, где напряженное состояние симметрично относительно средней плоскости, рассматривалась в работах Я. С. Уфлянда (1958), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда (1960). Решение этой задачи строится с помощью выражения компонент через две гармонические функции (представления Папковича — Нейбера) с последующим сведением задачи с помощью преобразований Ханкеля к парным интегральным уравнениям.
    Преобразования Мелера — Фока позволили Я. С. Уфлянду (1959) получить решение задачи об осесимметричной деформации неограниченного тела, содержащего плоскую щель, занимающую внешность некоторого круга заданного радиуса. Здесь получены решения как для случая симметричного, так и антисимметричного нагружения. В. В. Панасюк (1962) вернулся к рассмотрению этой задачи и определил возникающие при этом разрушающие нагрузки.
    В. И. Довнорович (1962) с помощью разработанных им методов решения пространственных задач теории упругости (1959) определил напряженное состояние упругого тела при наличии плоской щели (разреза). В качестве примеров получены уравнения для расширенных щелей при различных вариантах задания нормального давления, приложенного к поверхности плоской щели в неограниченном упругом теле. В работе Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда (1965) рассмотрена осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью, а Ю. Н. Кузьмин (1966) исследовал случай неограниченного тела, имеющего две соосные щели различных радиусов.
    Преобразования Ханкеля, сводящие задачу к проблеме решения парных интегральных уравнений, находят эффективное применение в осе-симметричных задачах для упругого слоя, в частности в задачах о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном плоской круглой щелью (Я. С. Уфлянд, 1959). Эти же задачи другими методами исследовались в упомянутых выше работах В. М. Александрова (1965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина (1965, 1966), Б. И. Сметанина (1968). Используя аппарат дуальных интегральных уравнений, Н. В. Пальцун (1967) решил некоторые задачи о круглых трещинах в слое.
    С помощью преобразований Конторовича — Лебедева Я. С. Уфлянд (1958) рассмотрел задачу для неограниченного упругого тела, содержащего разрез в виде полуплоскости, под действием произвольной системы внешних сил.
    В. В. Панасюк (1962, 1965) для неограниченного изотропного хрупкого тела исследовал вопрос о развитии трещин, имеющих в плане форму, близкую к круговой. Такой называется трещина, максимальное удаление контура которой от окружности мало по сравнению с радиусом круга. Продолжая исследования, начатые в работе М. Я. Леонова и К. И. Чумака (1959), В. В. Панасюк развил метод приближенного решения указанного класса задач, где вопрос о предельной нагрузке для трещины, имеющей в плане форму, близкую к круговой, сводится к определению упругих напряжений в окрестности контура трещины. Частным примером, относящимся к этому классу задач, является случай плоской трещины, имеющей в плане форму эллипса. С помощью развитого приближенного метода В. В. Панасюк определил предельные критические напряжения для точек меньшей и большей осей эллипса и сравнил их с результатами точного решения этой задачи, полученного им несколько ранее (1962).
    Выражение, определяющее величину предельных напряжений, необходимых для распространения трещины в направлении ее меньшей оси, было получено в работе М. Я. Леонова и К. Н. Русинко (1963) на основе теории макронапряжений, развитой этими же авторами (1961).
    Ю. Н. Кузьмин (1966) нашел распределение напряжений в упругом пространстве, ослабленном системой периодических вдоль оси z плоских трещин одинакового радиуса. Для нормальной нагрузки, приложенной к поверхности трещин, задача сводится к решению парных интегральных уравнений, сводимых в дальнейшем к уравнению Фредгольма с непрерывным ядром, выражаемым через известные специальные функции.