Меню

  • На главную
  • https://tut-zdorovo.ru

Поиск

  • Напряженное состояние упругого кольца

    Posted 7/29/2009 в 8:16:17 ПП

    К эффективному решению задач рассмотренного вида применялся также метод линейного сопряжения функций. В качестве примера укажем на работу И. А. Прусова (1957). рассмотревшего задачу об усилении отверстия в бесконечной пластинке кольцом переменного сечения, ограниченным извне окружностью, а изнутри эллипсом.
    До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается, как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов.
    В такой постановке задача о подкрепленных краях впервые рассматривалась М. П. Шереметьевым (см., например, его книгу, 1960). Подкрепляющее кольцо постоянного сечения было принято за тонкий стержень, обладающий жесткостью на растяжение и изгиб в случае плоского напряженного состояния и жесткостью на изгиб и кручение при изгибе тонких пластинок.
    Будем для определенности рассматривать бесконечные пластинки с одним подкрепленным отверстием.
    Граничные условия на контуре подкрепленного отверстия получим, как и прежде, требуя равенства соответствующих усилий и смещений с обеих сторон.   Если теперь, исходя из известных уравнений теории малых деформаций криволинейных стержней, выразить смещения и0 и v0 через внешнюю нагрузку Хп, Yn и подставить соответствующие значения в упомянутое выше граничное условие сопряжения, то для определения функций ф и г|), голоморфных в области пластинки, получим два комплексных условия, содержащие в правых частях одни неизвестные усилия Хп и Yn- Для задач иизгиба пластинки с подкреплением указанного вида неизвестные функции в правой части можно вообще исключить, и мы будем иметь всего одно граничное условие, правда несколько более сложное, нежели обычное условие основной плоской задачи.
    В конечном счете появляется возможность эффективного рассмотрения задачи при частных видах отверстий. Случай кругового отверстия поддается подробному анализу методом степенных рядов (М. П. Шереметьев, 1960). Для некруговых отверстий задача сложнее, и эффективное решение ее требует применения метода последовательных приближений.
    Дальнейшее обобщение этого подхода было дано Г. Н. Савиным и Н. П. Флейшманом (1961). Предполагая подкрепляющий стержень весьма тонким (т. е. считая поперечное сечение стержня весьма узким), они несколько ослабили граничное условие на контуре слоя и сформулировали в терминах комплексного переменного объединенную задачу о кольцевых подкреплениях со смягченными граничными условиями. При выводе этих условий использовалось предположение о том, что стержень в случае плоского напряженного состояния не сопротивляется изгибу, а при поперечном изгибе пластинок лишен крутильной жесткости.
    Полученная задача теории аналитических функций допускает, подобно основным плоским задачам, решение в замкнутой форме, если область пластинки конформно отображается на круг посредством рациональной функции. Это иллюстрируется на примере эллиптического отверстия в бесконечной пластинке.
    Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман (1964), а также М. П. Шереметьев (1960) рассмотрели усиление пластинки при ее поперечном изгибе тонкими кольцами из другого материала (ребра жесткости), расположенными внутри пластинки. В простейшем случае одного ребра имеем следующую картину. Тонкое криволинейное кольцо (точнее, замкнутая упругая линия) припаяно к пластинке во внутренней ее части. Область, занятая срединной поверхностью пластинки, разбивается при этом осевой линией кольца на две связные части (внутреннюю и внешнюю по отношению к этой осевой линии). В каждой из этих областей надо определить пару голоморфных функций комплексного переменного по некоторым условиям на контуре пластинки, а также на линии кольца. Условия сопряжения на этой линии следует составлять, учитывая совместную работу пластинки и подкрепляющего кольца (таких условий три). В конечном счете для определения четырех голоморфных функций имеется четыре комплексных условия вида (6.3) — (6.5), содержащие, кроме заданных величин, две комплексные функции дуги оси кольца, не задаваемые заранее. Этим путем задача об усилении пластинки ребрами жесткости изучалась в ряде случаев. Например, для круглой пластинки с произвольным числом криволинейных ребер построено разрешимое интегральное уравнение Фредгольма.
    Некоторые частные задачи (например, круглая пластинка с концентрическим ребром жесткости, эллиптическая пластинка с центральным круговым ребром) решаются эффективно методом рядов.
    В упомянутых выше монографиях Г. Н. Савина (1951), Д. В. Вайн-берга (1952), М. П. Шереметьева (1960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш-мана (1964) рассмотрены также некоторые другие задачи о плоском напряженном состоянии и изгибе пластинок как в изотропном, так и анизотропном случае. Наиболее полно изучены, например, вопросы, связанные с влиянием анизотропии материала на концентрацию напряжений вблизи эллиптических отверстий, о рациональном подборе параметров подкрепляющих элементов, о влиянии контурных сосредоточенных нагрузок в многослойном диске.
    6.3. Смешанные и контактные задачи. Смешанные и контактные задачи относятся к числу наиболее трудных задач теории упругости; при изучении их методом теории функций комплексного переменного получаются граничные задачи с разрывными коэффициентами и возникает необходимость изучения поведения решений в окрестностях точек разрыва.
    Как уже отмечалось выше (п. 5.3.4), Д. И. Шерман (1940) построил сингулярное интегральное уравнение с разрывными коэффициентами для основной смешанной плоской задачи; это же уравнение позволяет решить задачу изгиба нормально нагруженной тонкой изотропной пластинки, когда часть края заделана, а часть — свободна.
    А. И. Каландия (1952) построил систему сингулярных интегральных уравнений для решения общей задачи изгиба пластинки, когда часть края заделана, другая — оперта, а остальная — свободна. В ряде работ (см. например, А. И. Каландия, 1961; Д. И. Шерман, 1955) дано численное решение смешанных задач изгиба пластинок для областей частного вида.
    Одним из наиболее эффективных методов решения смешанных задач плоской теории упругости является метод линейного сопряжения функций; о решении смешанных задач этим методом говорилось выше.