Меню

  • На главную

Поиск

  • Решение контактных задач

    Posted 7/29/2009 в 8:19:48 ПП

    Задачи о вдавливании жестких штампов в упругую полуплоскость приводят к граничным задачам сопряжения, которые аналогичны задаче  сопряжения, построенной выше для основной смешанной задачи. Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца), близких по форме к полуплоскости, когда участок соприкасания мал, также приводится к задаче линейного сопряжения. Решение этих задач методом линейного сопряжения функций приведено в монографии Н. И. Мусхелишвили.
    Л. А. Галин (1953) дал решение ряда контактных задач при помощи применения методов теории функций комплексного переменного. И. Я. Штаерман (1949) изучал контактные задачи методом интегральных уравнений.
    В работах В. М. Абрамова (1937), Н. И. Глаголева (1942, 1943),
    B. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954), И. Г. Арамановича (1955), В. В. Панасюка (1953, 1954), А. И. Каландия (1957, 1958), М. П. Шереметьева (1952, 1961) ряд контактных задач исследован различными методами.
    6.4. Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела. Методы теории функций комплексного переменного, как показал впервые С. Г. Лехницкий, с успехом могут быть применены и к плоской задаче анизотропного тела (первые работы С. Г. Лехницкого в этом направлении были опубликованы в тридцатых годах; см., например, монографию:
    C. Г. Лехницкий, 1947, изд. 2—1957).
    Пусть однородное анизотропное тело имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную данной плоскости, которую мы примем за плоскость Оху. Если тело подвергается плоской деформации, параллельной плоскости Оху, то функция напряжений (функция Эйри) удовлетворяет обобщенному бигармоническому уравнению (имеется в виду случай отсутствия объемных сил)
    где а0, . . ., а4 — действительные постоянные, зависящие от упругих свойств рассматриваемого тела (аналогичное уравнение имеет место и для обобщенного плоского напряженного состояния пластинки).
    И в этом случае удается построить общее представление решения при помощи двух аналитических функций комплексных переменных. Эта представление зависит от корней характеристического уравнения, соответствующего уравнению (6.6):
    а0 + ais + a2s2 -f- agS3 -f-       = 0. (6.7)
    Как показал С. Г. Лехницкий, это уравнение не имеет действительных корней. В случае изотропного тела уравнение (6.7) сводится к уравнению 1 + 2s2 + s4 = 0 и, следовательно, имеет двукратные корни i и —i. Если уравнение (6.7) имеет двукратные корни s = а + s = а — фг то общее действительное решение уравнения (6.6) представится в виде
    U (х, у) = z Ф (z) + z Ф (z) + % (z) + х (*), (6.8)
    как и в случае изотропного тела, но на этот раз комплексное переменное z имеет вид z = x~\-sy = x-\-ay-\- i$y ((#, у) 6 S), где S обозначает область, занятую телом. придем к комплексному переменному z' = х' + iy', изменяющемуся в области S', получаемой из области S аффинным преобразованием (6.9).
    Формула (6.8) и вытекающие из нее выражения для компонент напряжения и смещения показывают, что этот случай (т. е. случай кратных корней уравнения (6.7)) представляет собой почти полную аналогию со случаем изотропного тела, и поэтому его обычно исключают из рассмотрения.
    В случае, когда уравнение (6.7) не имеет кратных корней, т. е. имеет четыре различных попарно сопряженных корня.

    Следует отметить, что граничные задачи изгиба тонкой анизотропной пластинки, как и в случае изотропной пластинки, сводятся к задачам теории функций комплексного переменного, к которым приводят плоские задачи. Задача изгиба анизотропной пластинки с заделанным краем сводится к задаче вида (6.14), а задача изгиба пластинки со свободным краем сводится к задаче вида (6.15); смешанная задача изгиба пластинки с частично свободным и частично заделанным краем сводится к задаче вида основной смешанной задачи плоской теории (см. С. Г. Лехницкий, 1947).
    Следует отметить, что и некоторые стационарные динамические задачи приводят к задачам указанного выше вида. Так, Л. А. Галин (1953), рассматривая задачу о штампе, движущемся с постоянной скоростью вдоль границы изотропной полуплоскости, свел ее к граничной задаче теории функций комплексного переменного и таким путем построил ее решение.

    Тэги: