Меню

  • На главную

Поиск

  • Общие вопросы

    Posted 7/30/2009 в 9:12:40 ДП

    Хотя первые публикации по нелинейной теории упругости в СССР относятся еще к тридцатым годам (Н. В. Зволинский, 1939; Н. В. Зволин-ский и П. М. Риз, 1938, 1939; Д. Ю. Панов, 1939; П. М. Риз, 1938, 1939), глубокое внимание к нелинейным проблемам характерно лишь для последних двух десятилетий. Этому в значительной мере способствовало появление публикаций по общим вопросам теории (К. 3. Галимов, 1946, 1948, 1949; И. И. Гольденблат, 1950; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948) и некоторых других, более поздних. Указанные работы, обсуждающие широкий круг вопросов, определили направление отечественных исследований по нелинейной теории упругости.
    В механике сплошных сред используются два типа координат: пространственные — эйлеровы и материальные («вмороженные в тело») — лагранжевы (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948). Более удобными в нелинейной теории являются материальные координаты (В. В. Новожилов, 1958), в которых значительно проще формулируются граничные условия и деформационные гипотезы (например, гипотеза прямой нормали в теории пластин и оболочек, гипотеза плоских сечений в теории изгиба балок). Если же рассматривать не сам процесс деформации, а (как это и делается в теории упругости) только начальное и конечное положения тела, то введение пространственных координат становится излишним (Л. И. Седов, 1962). При этом величины, характеризующие деформацию и равновесие тела, можно относить либо к недеформированно-му, либо к деформированному материальному координатному базису. Подробно о выборе координатных векторных базисов и связи между ними сказано в монографии Л. И. Седова (1962).
    В качестве основных характеристик деформаций используются полуразности компонент основного метрического тензора в деформированном и недеформированном состояниях (К. 3. Галимов, 1946, 1949, 1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948, 1958). Для описания больших деформаций используются и другие характеристики, среди которых укажем, например, следующие: логарифмические (или истинные) деформации; компоненты тензора, совпадающие в главных осях деформации с главными относительными удлинениями; компоненты тензора, контравариантные составляющие которого являются полуразностями соответствующих компонент метрических тензоров в деформированном и недеформированном состояниях. При рассмотрении различных вопросов предпочтительны те или иные характеристики. Для правильной обработки результатов важно, чтобы принятым обобщенным характеристикам деформации отвечали соответствующие (в выражении для элементарной работы) обобщенные напряжения (В. В. Новожилов, 1951). В монографии Л. И. Седова (1962), подводящей итог более ранним работам (Л. И. Седов, 1960; В. Д. Бондарь, 1960, 1961; М. Э. Эглит, 1961), при рассмотрении деформации элемента тела широко используется теория функций от тензоров. С этих позиций в качестве характеристики деформации может быть принята любая аналитическая функция тензора деформации. Там же для деформации общего вида вводится кососимметричный тензор, соответствующий вектору вращения главных осей деформации.
    Ранее была установлена связь между средним поворотом элемента деформируемого тела и ротором вектора смещений (В. В. Новожилов, 1948).
    Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности «углов вида» рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями.
    Сходные зависимости были получены при помощи кругов Мора (А. К. Синицкий, 1958). Тригонометрическое представление главных значений тензора дало возможность (В. В. Новожилов, 1951) конкретизировать коэффициенты предложенной В. Прагером связи между двумя k соосными тензорами. Дальнейшее развитие геометрической стороны вопроса о связи между симметричными тензорами второго ранга дано в работах В. В. Новожилова (1963), Л. И. Седова (1962), К. Ф. Черных (1967).
    Обстоятельное рассмотрение вопроса о связи между инвариантами, с привлечением сведений из теории алгебраических инвариантов и теории групп, произведено И. И. Гольденблатом (1950, 1955). Была выяснена возможность введения инвариантов, позволяющих раздельно рассматривать изменение объема элемента и его формоизменение (Л. А. Толоконников, 1956). Там же были предложены соотношения, обобщающие закон подобия девиаторов напряжений и деформаций. На основании этого Л. А. Толоконников (1957) развил вариант квадратичной теории (с четырьмя константами), основанный на следующих предположениях: всестороннее давление зависит только от относительного изменения объема, интенсивность касательных напряжений — только от интенсивности деформации сдвига, «углы вида» тензоров истинных напряжений и логарифмических деформаций равны между собой.
    Показано (Д. Д. Ивлев, 1961), что для изотропного тела, различным образом сопротивляющегося растяжению и сжатию, совокупность простейших экспериментов не определяет полностью потенциала деформации.
    Установлено (В. Д. Бондарь, 1963), что всякое состояние равновесия тела с отличными от нуля напряжениями и деформациями может быть принято за начальное при специальном определении массовых сил. Довольно часто использовались при построении нелинейной теории упругости термодинамические соображения (И. И. Гольденблат, 1950, 1955;Д. И. Кутилин, 1947; В„ В. Новожилов, 1963). В монографии Л. И. Седова (1962) подробно рассмотрен вопрос о применении термодинамики обратимых процессов для получения замкнутой системы уравнений нелинейной теории упругости. Здесь используются все четыре термодинамических потенциала. При этом в качестве их аргументов (наряду с обычно используемыми компонентами тензоров деформации и напряжений, температурой и энтропией) вводятся также параметры, определяющие физико-химические свойства материалов тела. Последние могут быть и тензорными величинами. Рассмотрен случай наличия внутренних связей (например, условие несжимаемости материала). Подробно исследован случай изотропного тела.