Меню

  • На главную

Поиск

  • Жестко-пластическое тело

    Posted 4/1/2010 в 7:52:04 ПП

    Идеальное жестко-пластическое тело начинает деформироваться лишь при достижении предельной нагрузки. При этом некоторые части тела могут остаться жесткими. Скорости частиц на границе пластической зоны должны быть согласованы со скоростями движения жестких частей тела.
    Схема жестко-пластического тела интуитивно применялась еще в ранних работах по теории пластичности (жесткие зоны иногда назывались упругими). Однако необходимость согласования полей напряжений и скоростей долгое время не была осознана. Лишь к концу сороковых годов идея последовательного применения схемы жестко-пластического тела получила широкое признание.
    Схема жестко-пластического тела пригодна, если пластическое течение, захватывающее все тело или его часть, не испытывает стеснений. Другая картина имеет место, если, например, труба, испытывающая действие внутреннего давления, находится в недеформируемой обойме; здесь использование жестко-пластической схемы исключается.
    Схема жестко-пластического тела является крайней идеализацией, и ее последовательная интерпретация связана с рядом затруднений.Решение по этой схеме, вообще говоря, может отличаться от решения такой же упруго-пластической задачи при модуле Юнга Е ->- оо. Выделение жестких зон в известной мере произвольно, а напряжения в них не определены. С этим связано характерное для жестко-пластического тела отсутствие единственности конструкции решения и некоторые другие парадоксальные заключения.
    Вопросы неединственности решения отпадают, если рассматривать жестко-пластическое тело как предельный случай упруго-пластической среды. Однако реализация этой программы требует выхода за пределы жестко-пластической схемы и связана с большими математическими усложнениями. Фактически мы вынуждены оперировать внутри жестко-пластической схемы и мириться с ее недостатками.
    Тем не менее идея последовательного применения схемы жестко-пластического тела при выполнении определенных условий естественна и оказалась плодотворной не только для решения статических задач, но и обнаружила также большие преимущества и в анализе ряда динамических вопросов. Затруднения, связанные с неединственностью решения, преодолеваются оценкой последнего на основании экстремальных теорем для предельной нагрузки.Условие Мизеса несколько лучше согласуется с опытными данными, однако общие соображения (близость максимального касательного напряжения к интенсивности касательных напряжений) и незначительность наблюдаемых отклонений говорят о практической равнозначности условий пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана. В пользу каждого из этих условий иногда приводятся те или иные, не лишенные интереса, соображения. Так, некоторые схемы статистического анализа поликристаллических агрегатов, опирающиеся на ряд предположений о механизме пластической деформации, приводят к условию Мизеса. С другой стороны, условие Треска выделяется в некотором смысле экстремальными свойствами (Д. Д. Ив л ев, 1966). Однако попытки представить условие пластичности Треска — Сен-Венана как наиболее соответствующее природе пластического течения вряд ли убедительны; при этом исходной является картина пластического течения в монокристаллах, Перенос этих представлений на поликристаллические металлы нельзя считать правомерным.
    Переход к условию текучести Треска — Сен-Венана позволяет во многих случаях упростить математическую формулировку задачи. Возможность последовательного использования этого условия текучести появилась сравнительно недавно после работ В. Прагера и В. Т. Койтера (1953 г.), в которых было дано формальное расширение схемы пластического потенциала (ассоциированного закона течения) на сингулярные поверхности текучести. Схема Прагера — Койтера в ряде случаев обладает значительными вычислительными преимуществами. Именно это объясняет быстрое и широкое распространение этой схемы в задаче плоского напряженного состояния, в теории пластических оболочек и пластин, в проблеме осесимметрич-ного течения. Вместе с тем отмеченные выше затруднения побуждают оценивать схему Прагера — Койтера как идеализированную аппроксимацию более реальной теории Мизеса; с этих позиций вряд ли целесообразно пытаться искать физический смысл отдельных парадоксальных заключений. Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало изучены. Как показал Т. Томас, рассматриваемая система уравнений, как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах (плоская деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия текучести Треска — Сен-Венана. Существование характеристических поверхностей при этом условии отмечено Т. Томасом, которому принадлежит систематический анализ разрывов в пластической среде.
    К радикальному упрощению приводит так называемое условие «полной пластичности», согласно которому реализуются напряженные состояния, отвечающие ребрам призмы Треска — Сен-Венана (т. е. вершинам А, В, . . /^шестиугольника на рис. 1). Для таких («статически определимых») напряженных состояний (Д. Д. Ив л ев, 1966) система уравнений будет гиперболической. Доводы физического характера, иногда высказываемые в пользу этой схемы, продиктованы скорее заманчивой простотой математического анализа, нежели существом вопроса. В рамках этой схемы решение многих задач просто невозможно (например, задачи плоского напряя^енного состояния). Вместе с тем представляется излишне суровой и резко отрицательная точда зрения в отношении условия полной пластичности, наиболее ясно высказанная в книге Р. Хилла («искусственное и нереальное условие текучести», «такие вычисления имеют небольшое или не имеют никакого значения»). Подобные решения могут иметь несомненный интерес. При этом, однако, оценка решений, построенных с помощью условия полной пластичности, должна опираться на экстремальные теоремы. Если решению по этой схеме отвечает кинематически допустимое поле скоростей, то подобное решение приводит к верхней границе предельной нагрузки. Если же напряженное состояние возможно продолжить на все тело, не нарушая условие текучести, мы получим нижнюю границу. В тех случаях, когда полученное решение нельзя отнести ни к одному из упомянутых классов, вопрос о значимости решения остается открытым.
    В связи со значением разрывных решений в теории пластичности (в частности, для приближенного нахождения предельной нагрузки) подробно изучены соотношения на поверхностях разрыва. На поверхности разрыва напряжений при выпуклых условиях текучести, как показал в .1.961 г. Р. Хилл, скорости деформации равны нулю, а скорости непрерывны. С другой стороны, на поверхности разрыва скоростей девиатор напряжения, вообще говоря, непрерывен; лишь в случае грани призмы Треска возможен разрыв промежуточного главного напряжения (Г. И. Быковцев и Ю. М. Мяснянкин, 1966).
    Условие пластичности накладывает определенные ограничения на величину скачка напряженного состояния на поверхности разрыва напряжений. При условии текучести Треска возникает пестрая картина, так как с разных сторон поверхности разрыва могут осуществляться напря-яжнные состояния, соответствующие различным режимам течения. При  напряженных состояниях, отвечающих ребрам призмы Треска, соотношения на поверхности разрыва рассмотрены Д. Д. Ивлевым (1966).
    Решения системы уравнений пластического течения строятся для различных частных случаев напряженного и деформированного состояний, имеющих «обычный» механический смысл (плоская деформация, плоское напряженное состояние, кручение и т. д.). Иногда рассматриваются и более специфические случаи.
    Например, для сферического деформированного состояния предполагается, что в сферической системе координат г, 6, ф компоненты скорости деформации и напряжения зависят только от 6, ф, причем тге — тГф = 0. В состоянии чистого сдвига задача статически определима, причем соответствующая система принадлежит к гиперболическому типу (Д. Д. Ивлев, 1966). Рассмотрены задачи о конической трубе и о вдавливании клинообразного в плане штампа.
    Используя особенности напряженного и деформированного состояний, выявленные в известном решении Л. Прандтля о сжатии тонкого плоского слоя, А. А. Ильюшин (1954) развил общую теорию течения тонкого пластического слоя по недеформируемым поверхностям. Выведенные уравнения применяются для расчета ряда задач обработки металлов давлением.
    Имеющиеся решения для слоя относятся к конечной стадии пластического течения, когда на поверхности контакта развиваются значительные касательные напряжения. Изменение напряженного состояния в прослойках с ростом нагрузки (от простого сжатия к сложному напряженному состоянию в конечной стадии) рассмотрел Л. М. Качанов (1954, 1962)
    Помимо традиционной постановки задачи о разыскании предельной нагрузки для тела заданной формы, представляют интерес задачи оптимального проектирования («предельное проектирование»). Под этим понимается выбор очертаний тела, обладающего необходимой несущей способностью и в то же время удовлетворяющего некоторым дополнительным оптимальным условиям. Обычно таким условием является требование минимальности веса. Эта проблема, при отсутствии надлежащих ограничений относительно возможных очертаний тела, является, вообще говоря, неопределенной. При рассмотрении стержневых систем (решеток, рам) проблема без большого труда сводится к задаче программирования. Этот путь используется при решении ряда инженерных вопросов строительной механики.
    Значительно труднее предельное проектирование тел минимального веса при более сложной их конфигурации; задачи такого типа изучены слабо.
    Изложение современного состояния теории оптимального проектирования и соответствующие литературные ссылки приведены в книге М. И. Рейтман и Г. С. Шапиро (1966).

    Тэги: