Меню

  • На главную

Поиск

  • Плоское напряженное состояние

    Posted 7/30/2009 в 7:58:52 ПП

    Несколько более сложной является задача о плоском напряженном состоянии, возникающем в тонких пластинках, подверженных действию нагрузок, лежащих в срединной плоскости. Случай плоского напряженного состояния важен еще и потому, что аналогичное состояние реализуется при изгибе тонких пластин и оболочек. В гиперболическом случае характеристики не ортогональны и не совпадают с линиями скольжения. В то же время система уравнений для напряжений является приводимой и существуют простые интегралы, отвечающие прямолинейным семействам характеристик.
    Параболический случай отличается простотой: здесь главные напряжения постоянны, неизвестен лишь угол наклона главной площадки. В эллиптическом случае построение решения наталкивается на большие трудности.
    Уравнения для скоростей и разрывные решения рассмотрел в 1952 г. Р. Хилл для случаев гиперболичности и параболичности. Он же установил особенности разрывов скорости, появляющихся в плоском напряженном состоянии; разрывна также и нормальная составляющая скорости, что приводит к появлению локального утонения («шейка») или утолщения («валик»), проходящего по характеристике.
    Решение жестко-пластических задач, если оно оказывается возможным без рассмотрения области эллиптичности, реализуется, в общем, теми же приемами, что и в случае плоской деформации, хотя технически и несколько сложнее. Многочисленные конкретные задачи изучены в работах В. В. Соколовского (1950), Р. Хилла, А. П. Грина, Г. Форда и Дя^. Лианиса.
    Существенное упрощение математической формулировки задачи достигается переходом к условию пластичности Треска — Сен-Венана. Соответствующая система уравнений для напряжений изучена В. В. Соколовским (1945). При Oi(T2 < 0 она гиперболического типа и совпадает с уравнениями плоской деформации. На горизонтальных и вертикальных гранях шестиугольника система уравнений параболического типа и легко интегрируется. Различным типам уравнений соответствуют различные типы поверхностей скольжения. Использование ассоциированного закона течения позволяет вывести уравнения для скоростей.
    Можно предпринять и дальнейшие шаги в том же направлении, именно попытаться подобрать такое приближенное условие пластичности, при котором система уравнений была бы всюду гиперболической. Подобное условие выдвинул, в частности, Р. Мизес; по его предложению эллипс аппроксимируется двумя ветвями парабол. Следует, однако, заметить, что эта аппроксимация довольно грубая, условие же Треска — Сен-Венана настолько упрощает постановку задачи, что настоятельной необходимости в дальнейших упрощениях математической формулировки нет.
    Условие Треска — Сен-Венана при ассоциированном законе течения нашло широкие применения при пластическом анализе изгиба пластин и оболочек. Скорости деформации при этом обычно определяются посредством ассоциированного закона течения. Отметим некоторые причины, побуждающие к анализу этой задачи. Различные условия текучести в случаях плоской деформации и плоского напряженного состояния, несколько пные предельные условия в механике грунтов делают естественным анализ задачи при общем условии пластичности. Некоторое значение имеют поиски простых приближенных решений, возможных при частных формулировках условия текучести. Возвращаясь к упомянутой выше системе уравнений плоской задачи при условии пластичности, отметим, что эта система, вообще говоря,ее вытекает из уравнений трехмерной задачи. Несмотря на указанный дефект, математический анализ этой системы представляет несомненный .интерес. Тип системы зависит от вида кривой текучести и положения на ней. Для «гиперболических точек» кривой текучести развита теория характеристик и разрывов (Ж. Мандель, X. Гейрингер, Р. Хилл, В. В. Соколовский и др.). Изучены различные случаи условия текучести (3.15). Выше уже называлось параболическое условие Мизеса. Отметим случай циклоидальной кривой (В. В. Соколовский, 1950), для которого система всюду гиперболическая, причем характеристики — прямые линии.