Меню

  • На главную

Поиск

  • Пространственные задачи теории упругости

    Posted 7/26/2009 в 6:40:03 ПП

    Систематическое изучение пространственных задач теории упругости было предпринято Б. Г. Галеркиным. Используя найденное им представление общего интеграла уравнений теории упругости через три бигармо-нические функции (1930) и применяя ряды, он развивал с начала тридцатых годов метод расчета толстых плит, предполагающий выполнение условий для произвольных нагрузок на торцах и интегральных условий на боковой поверхности; им были изучены плиты прямоугольные, круглые, секторные, треугольные (1931, 1932). В 1931 г. Галеркин построил решение задачи о равновесии слоя, подверженного действию нормальной нагрузки. При помощи рядов, содержащих функции Бесселя и Ханкеля, Галеркин рассмотрел задачу о равновесии полого цилиндра и его части (1933), а позже получил частные решения задачи об осесимметричной деформации полой сферы (1942).
    Вслед за этими исследованиями появилась работа Г. Н. Маслова (1938), в которой рассматривалось термоупругое равновесие толстой плиты, полого цилиндра и сферы при действии стационарного теплового потока.
    Развитие задачи Буссинеска для полупространства дано В. Г. Ко-роткиным (1938), который исследовал случай приложения нагрузки по прямоугольнику — постоянной и меняющейся по линейному закону. Задачи для полупространства при задании на границе смещений, а также случай сопряженных между собой полупространств рассматривались Д. И. Шерманом (1943, 1945). Решение, обладающее особенностью типа «центр» в некоторой точке полупространства, получено В. К. Федяниным
    В последнее время появились работы, рассматривающие кручение полупространства (Н. А. Ростовцев, 1955; Б. Л. Минцберг, 1957) и упругого слоя (Я. С. Уфлянд, 1959); случай кручения многослойной среды(основания) обсужден В. И. Петришиным (1965); кручение двухслойной среды изучено Д. В. Грилицким (1961).
    Задачи типа Буссинеска для анизотропной среды рассмотрел В. А. Свекло (1964). Появляются исследования, изучающие поведение полупространства из неоднородной среды: С. Г. Лехницкий (1962) исследовал полуплоскость и клин с переменным модулем упругости, Л. И. Тер-Мкртичьян (1961) рассмотрел пространственные задачи для неоднородной среды (задачу Буссинеска, симметрично нагруженный цилиндр). Более общий вид неоднородного полупространства и полуплоскости изучался Н. А. Ростовцевым (1964); задача Буссинеска для специального типа линейно деформируемой сплошной среды поставлена и решена А. И. Виноградовым (1966). Термоупругая задача для полупространства, граничащего со средой, температура которой задается гауссовым законом распределения, рассмотрена И. Д. Киллем (1966).
    При помощи интегралов Фурье равновесие упругого слоя изучил Г. С. Шапиро (1942, 1944); им решена задача о передаче давления, распределенного по площади круга, через слой, лежащий на скальном основании; в соавторстве с Д. Ю. Айзенбергом (1950) им рассмотрена передача давления через слой с круговым отверстием. Передача давления через слой, лежащий на упругом основании, при условии полного слипания слоя и основания изучена Р. М. Раппопорт (1948).
    Изгиб толстой плиты поверхностной гармонической нагрузкой исследовал С. Г. Гутман (1940); им же получено решение задачи об изгибе толстой плиты собственным весом (1941); позднее вопросами изгиба толстых плит занимались многие авторы (С. А. Алексеев, 1946; В. И. Блох, 1954; М. И. Гусейн-заде, 1956; В. К. Прокопов, 1963).
    В 1942 г. А. И. Лурье предложил новый символический метод решения задачи о равновесии упругого слоя и толстой плиты, основанный на представлении решений уравнений пространственной задачи теории упругости в виде целых трансцендентных функций двумерного оператора Лапласа. Такое представление позволило упростить действия над степенными рядами, компактно записанными при помощи символических операторов, и, кроме того, естественным образом привело к нахождению нового класса решений, позволяющих уточнять выполнение граничных условий на боковой поверхности плиты. Эти решения были названы Лурье «однородными», так как они соответствуют условию отсутствия нагрузки на торцах плиты.
    Символический метод Лурье в приложении к теории плит был затем использован Е. М. Кругом (1955), И. Г. Терегуловым (1961), Т. Т. Хачатуряном (1963), У. К. Нигулом (1963); в монографии В. А. Агарева (1963) расширяется область приложения символического метода к теории плит; дальнейшее приложение символического метода к теории плит в сочетании с принципом минимума потенциальной энергии дано В. К. Прокоповым (1965). В работах С. Г. Лехницкого (1959, 1962) символический метод используется при рассмотрении равновесия трансверсально-изотропного слоя и толстой плиты; им получены также соответствующие однородные решения. П. Ф. Недорезов (1964) решил символическим методом задачу о кручении многослойного полого цилиндра.

    При помощи преобразования Фурье С. С. Дымков (1966) решил задачу о равновесии упругого слоя; такой подход позволил автору получить также асимптотические формулы для решения. Для слоя при заданных на его границах перемещениях (вторая основная задача) решение в рядах получено М. Д. Мартыненко (1964). Действие сосредоточенной силы внутри слоя рассмотрели О. Я. Шехтер и О. Е. Приходченко (1964); ими получено, в частности, решение задачи о действии вертикальной силы внутри слоя, лежащего на скальном основании. Случай слоя переменной толщины и круглой плиты переменной толщины при нагрузке, обладающей осевой симметрией, разобран И. И. Семеновой (1965).
    Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений Г. Н. Бухариновым (1952), применившим соотношение обобщенной ортогональности П. Ф. Папковича (1940); это соотношение было указано-Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соот-ветствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных на параллельных сторонах полосы; строгое обоснование метода Папковича было дано позднее Г. А. Гринбергом (1953). Равновесие круглой плиты под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при помощи однородных решений В. К. Прокоповым (1958). Осесимметричный изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б. Л. Абрамяном и А. А. Баблояном (1958); точное решение задачи о равновесии защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко (1963); аналогичные результаты получены Г. М. Валовым (1962). Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены Н. Т. Глазуновой (1963). А. А. Баблоян (1964) исследовал неосесимметрич-ное загружение круглой плиты, когда на боковой поверхности заданы перемещения (решение представлено в двойных рядах, коэффициенты которых находятся из бесконечных систем).
    Бесконечная толстая плита с круглым отверстием рассматривалась в работе О. К. Аксентян (1965); использование однородных решений позволило решить задачу о концентрации напряжений вблизи отверстия сведением к бесконечной системе уравнений для коэффициентов при однородных решениях; М. Абеновой (1965) подобная же задача приведена к интегральным уравнениям типа Фредгольма.
    Нестационарная задача о термоупругом (квазистатическом) равновесии толстой плиты рассмотрена А. А. Шевелевым (1965). Р. М. Раппопорт (1962) получила приближенные однородные решения для толстой плиты, построенные в педположении отсутствия поперечной деформации; последнее предположение приводит к ортогональным собственным функциям.
    Упругое равновесие бесконечного цилиндра изучалось многими авторами. Осесимметричная задача о действии на полый цилиндр нормального давления, приложенного на участке боковой поверхности, была рассмотрена в 1943 г. Г. С. Шапиро; им было получено решение этой задачи при помощи интегралов Фурье — Бесселя (это решение было позднее повторено В. Н. Поповым, 1956). Однородные решения для сплошного и полого цилиндров при осесимметричной их деформации рассматривались В. К. Прокоповым (1949, 1950). Осесимметричная задача для бесконечного сплошного цилиндра, нагруженного нормальными усилиями по боковой поверхности, была изучена в 1953 г. А. И. Лурье; решение этой задачи,представленное в форме интегралов Фурье, при помощи контурного интегрирования выражено через функции, соответствующие однородным решениям задачи о цилиндре; предельным переходом получено решение задачи об «опоясанном» цилиндре. Случай касательной нагрузки, а также задача об изгибе бесконечного цилиндра поверхностными усилиями исследованы тем же матодом в статьях П. 3. Лившица (1960, 1963, 1964).
    Сложное нагружение бесконечного цилиндра по его боковой поверхности, когда нагрузка представима интегралом Фурье по осевой координате и рядами Фурье по углу, было исследовано К. В. Соляником-Красса (1960). Им же рассмотрена и более общая задача о равновесии тела вращения, когда тригонометрические функции меридионального угла могут быть выделены в виде отдельных множителей в решении (1958); для полого цилиндра им было исследовано (1965) влияние нагрузки, распределенной на боковых поверхностях в направлении угла ф произвольным образом и представляющей собой полином от осевой координаты z (на торцах выполнялись интегральные условия).
    Смешанная осесимметричная задача для бесконечного сплошного или полого цилиндра рассматривалась в статьях Б. И. Когана, А. Ф. Хруста-лева, Ф. А. Вайнштейна (1958, 1959, 1963); функция напряжений Лява строилась ими в виде контурного интеграла, содержащего надлежащим образом подобранные функции, зависящие от параметров однородных решений для цилиндра; в работе Б. И. Когана и А. Ф. Хрусталева (1959) использован метод парных интегральных уравнений.
    Равновесие конечного цилиндра, сплошного и полого, в осесимметрич-ном случае изучалось при помощи однородных решений В. К. Прокоповым (1950, 1958); Г. Н. Бухаринов (1956) свел решение задачи об осесимметричной деформации сплошного цилиндра конечной длины к отысканию дополнительной функции, для которой составляется интегро-дифференциальное уравнение. В последние годы появилось много работ, посвященных осесимметричной задаче равновесия сплошного цилиндра конечной длины, в которых решение задачи сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б. Л. Абрамян, 1954; Г. М. Валов, 1962; В. А. Лихачев, 1965). Сжатие круглого цилиндра исследовалось Г. М. Валовым (1961) и Е. П. Мирошниченко (1957); равновесие вращающегося цилиндра рассмотрел В. Т. Гринченко (1964); им же дан очень обстоятельный анализ всех аспектов точного выполнения граничных условий в осесимметричной задаче для полубесконечного цилиндра (1965). Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины, сделанного из трансвер-сально-изотропного материала, изучалась А. А. Баблояном (1961).
    В отдельных случаях удается удовлетворить всем граничным условиям в задаче о равновесии цилиндра конечной длины, не прибегая при этом к решению бесконечных систем (см. Б. Л. Абрамян, 1958; Г. М. Валов, 1957, 1958).
    Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи; так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами: основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957); Я. С. Шаин (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении.

    Несимметричная деформация толстостенного цилиндра была изучена с помощью представления в рядах, содержащих функции Бесселя и Мак-дональда, в работе И. И. Смоловика и А. Н. Щепетева (1961) и в ряде работ В. С. Сумцова (1957—1959). Строгое выполнение граничных условий в общем случае нагружения полого цилиндра, приводящее к бесконечным системам, было осуществлено Э. Н. Байдой (1959, 1960).
    Разработке приемов, позволяющих свести исследование осесимметричной деформации толстостенного цилиндра к применению вычислительных машин, посвящены статьи А. Л. Квитки (1959).
    Символический метод А. И. Лурье применительно к сплошным и полым цилиндрам, подвергаемым главным образом осесимметричному нагруже-нию, был использован Ф. А. Гохбаумом (1964).
    Приближенный метод расчета полых (и сплошных) цилиндров при осесимметричном их нагружении был предложен В. Л. Бидерманом (1946, 1950); представляя касательное напряжение в виде суммы произведений осевых и радиальных функций, Бидерман задавался подходящими функциями радиуса, а для осевых функций получал вытекающие из принципа минимума потенциальной энергии обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие в правых частях функции, зависящие от приложенных по боковым поверхностям цилиндра нормальных нагрузок; распространение метода на случай наличия касательных сил было осуществлено впоследствии В. Г. Горским (1963).
    Другой приближенный способ расчета полых цилиндров, нагруженных нормальной к боковой поверхности нагрузкой, указан С. В. Бояр-шиновым (1953), предложившим использовать для перемещений выражения, являющиеся обобщением применяемых в теории тонких упругих оболочек. Оригинальный метод последовательных приближений в приложении к задаче о равновесии цилиндра разработал Ф. М. Детинко (1953); им построено решение в рядах по степеням малого параметра (коэффициента Пуассона).
    Стационарная задача о термоупругом равновесии полого цилиндра (в случае осевой симметрии) изучалась сперва П. М. Огибаловым (1954), а затем Ю. Н. Шевченко (1958), который учитывал изменение модуля упругости материала вдоль оси цилиндра. А. Н. Подгорный (1965) учел влияние торцов цилиндра, а также центробежных сил; задача решена приближенно с использованием вариационного принципа Лагранжа. П. И. Ермаков (1961) и В. А. Шачнев (1962) рассматривали стационарную задачу термоупругости для сплошного цилиндра конечной длины при осесимметричной его деформации; в первой из этих работ условия на торцах выполнялись приближенно, согласно методу Бидермана, а во второй — решение задачи сведено к решению интегро-дифференциального уравнения. Стационарная задача термоупругости для бесконечного цилиндра с несколькими полостями сформулирована А. С. Космодамианским (1962) — как температурное поле, так и термоупругое состояние определяются методом Бубнова — Галеркина.
    Нестационарная задача термоупругости для полого вращающегося цилиндра изучалась Ю. Н. Шевченко (1961), который выполнял условия на торцах приближенно, с помощью вариационного метода Кастильяно. А. А. Шевелев (1966) решал термоупругую задачу для бесконечного цилиндра, температура окружающей среды вокруг которого изменяется по экспоненциальному закону в функции времени; он определял зависимость максимальных тепловых напряжений от параметров нагревания,   что   дает   возможность   сформулировать   оптимальную задачу.А. И. Уздалев (1962) рассмотрел нестационарную плоскую осесимметрич-ную задачу термоупругости для сплошных и полых цилиндров из анизотропного материала.
    Однородные решения для полой сферы в случае осесимметричной ее деформации были указаны в 1943 г. А. И. Лурье; использование этих решений позволило решить задачу для полой сферы, срезанной конической поверхностью с вершиной в центре сферы у одного или у обоих ее полюсов; Лурье произвел также оценку точности решений, основанных на применении кинематических гипотез Кирхгофа — Лява к сферической оболочке.
    Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации решена А. И. Лурье (1953) с помощью общего решения П. Ф. Папковича; благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной задачи для полой сферы. Результаты исследований Лурье по пространственным задачам теории упругости собраны в его монографии (1955), где содержатся также решения задач о тяжелом и о вращающемся шаре, о сферической полости в неограниченной среде и др.

    Другой метод решения задачи о сфере, основанный на связи между плоской и осесимметричной задачами теории упругости и использующий теорию аналитических функций, предложили А. Я. Александров и Ю. И. Соловьев (1962).
    Сжатие, чистый изгиб и изгиб силой полой сферы, срезанной у полюсов коническими поверхностями, рассмотрены К. В. Соляником-Красса (1962); напряженное состояние в сферическом поясе, находящемся под действием внутреннего давления, изучал А. Ф. Улитко (1962).
    Задача о напряженном состоянии тяжелого упругого массива вблизи вертикальной цилиндрической полости была впервые поставленаА.Н. Дин-ником (1925) в связи с вопросом о давлении горных пород; более подробно эта задача впоследствии изучалась С. Г. Лехницким (1938, 1940), в том числе длятрансверсально-изотропного полупространства. Влияние цилиндрической полости на концентрацию напряжений при объемном напряженном состоянии исследовал С. Г. Гутман (1960). Учет действия внешних сил, приложенных на участке поверхности цилиндрической полости, находящейся в упругом полупространстве, произвел Г. Г. Чанкветадзе (1956, 1959); в других работах им рассматривалось упругое полупространство со сферической (1955) и цилиндрической (1956) полостями; его способ исследования основан на введении в осесимметричной задаче комплексного переменного и приложении методов Н. И. Мусхелишвили. Концентрация напряжений вблизи сферической полости в тяжелом полупространстве исследовалась Н. П. Флейшманом и В. Н. Гнатыкивом (1954).
    Р. Н. Кауфман (1958) рассмотрела задачу об упругом слое, содержащем шаровую полость; метод ее решения состоит в переносе начала координат сферической системы и введении формул переноса для сферических функций; в другой статье Кауфман (1964) решила тем же методом задачу о равновесии шара с неконцентрической шаровой полостью. IL И. Перлин (1964) построил решение второй основной задачи о равновесии полого эллипсоида вращения, внутренней поверхностью которого является сфера; Ю. Н. Подильчук (1965) изучил в сферических координатах внутреннюю и внешнюю задачи для эллипсоида вращения. В упомянутых здесь четырех работах решение строится в рядах, коэффициенты которых должны определяться из бесконечной системы уравнений.
    В. Н. Жарков (1963) поставил важную задачу о термоупругих напряжениях в гравитирующей сфере при произвольном законе распределения температуры; стационарная задача термоупругости для полой сферы, модуль которой есть степенная функция радиуса, решена И. Н. Даниловой (1962).
    Задачу о равновесии конуса (сплошного и полого) при действии осесимметричной нагрузки рассмотрел в 1944 г. Г. С. Шапиро; им получены полиномиальные решения задачи для некоторых типов поверхностных нагрузок и для действия силы тяжести; иным способом эта задача исследована А. Я. Александровым (1962). Действие сосредоточенного момента, приложенного в вершине конуса, рассмотрел А. Ф. Улитко (1960); в другой его работе (1960) с помощью преобразования Меллина решается общая задача о равновесии упругого конуса. Упругое равновесие осесимметрично нагруженного конуса рассмотрел также К. В. Соляник-Красса (1955, 1962); решение представлено им в виде интеграла Фурье. В. Н. Ионов (1965) дал решение задачи об осесимметричной деформации конического тела; выполнение краевых условий приводит к бесконечной системе уравнений для постоянных корректирующего тензора. Кручение конуса поверхностной нагрузкой рассмотрено К. В. Соляником-Красса (1965) и П. Ф. Недорезовым (1965).
    Задача о равновесии тяжелого параболоида вращения решена Г. С. Шапиро (1950); растяжение и изгиб параболоида, а также растяжение й изгиб тела, содержащего параболоидальную полость, рассмотрены К. В. Соляником-Красса (1958), в другой его работе (1958) исследовано сжатие эллипсоида и однополостного гиперболоида; кручение гиперболоида исследовали Н. Н. Лебедев и И. П. Скальская (1966).
    При помощи тороидальных координат А. Ф. Захаревич (1952) рассмотрел равновесие вращающегося тора; В. А. Левшин (1962) построил решение задачи о полом торе, подвергнутом воздействию внешнего и внутреннего давлений. Кручение тора круглого поперечного сечения в связи с расчетом винтовых пружин с малым шагом витков подробно изучил К. В. Соляник-Красса (1950); решение получено им с использованием биполярных координат и содержит ряды, включающие гиперболические, тригонометрические функции и присоединенные функции Лежандра.
    Растяжение круглого стержня, содержащего малую эллипсоидальную полость, исследовано К. В. Соляником-Красса (1958) с использованием эллипсоидальных координат. Н. А. Форсман (1958) решила задачу о концентрации напряжений в растянутом стержне круглого поперечного сечения в месте изменения толщины; решение получено в форме определенных интегралов, которые затем вычисляются приближенно.
    С 1963 г. стали появляться работы И. И. Воровича и его учеников, посвященные построению асимптотических решений для плит и оболочек, причем за основу такого построения принимаются однородные решения соответствующей трехмерной задачи теории упругости; вариационным методом Лагранжа составляются бесконечные системы уравнений дляконтурных значений искомых функций; решение этих систем строится в рядах по степеням толщины плиты или оболочки. Этим методом исследована задача изгиба плиты (О. К. Аксентян и И. И. Ворович, 1963,1964), а также осесимметричные задачи о равновесии цилиндрической и сферической оболочек (Н. А. Базаренко и И. И. Ворович, 1965; Т. В. Вилен-ская и И. И. Ворович, 1966).
    Классическая задача Ламе о равновесии прямоугольного параллелепипеда, нагруженного заданными усилиями по всем граням, привлекает к себе внимание многих исследователей, начиная с работ М. М. Филоненко-Бородича. В первой статье этого направления, опубликованной в 1946 г., М. М. филоненко-Бородич ввел в рассмотрение косинус-биномы — последовательность неортогональных функций, обладающих полнотой в интервале их определения и обращающихся в нуль вместе со своими первыми производными на границах интервала.
    В последующих работах М. М. Филоненко-Бородича косинус-биномы были им использованы для приближенного решения задачи об упругом равновесии прямоугольного параллелепипеда. Идея решения задачи состояла в разбиении тензора напряжений на две части: основной тензор, удовлетворяющий уравнениям рановесия и условиям загружения граней параллелепипеда, и корректирующий тензор, построенный при помощи косинус-биномов и их производных. Последний тензор, удовлетворяя уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям, содержит произвольные постоянные, определяемые вариационным методом Кастильяно. М. М. Филоненко-Бородич (1951) изучил задачу о сжатии параллелепипеда равными и противоположно направленными нагрузками и рассмотрел термоупругое равновесие параллелепипеда; позже (1953) он распространил метод на случай цилиндрических координат; ему же принадлежат соображения о выборе основного тензора для любым образом нагруженного параллелепипеда (1957).
    Е. С. Кононенко применила метод М. М. Филоненко-Бородича при изучении задачи об изгибе толстой плиты (1953) и сжатии параллелепипеда между жесткими плитами (1954); случай косоугольного параллелепипеда рассматривал А. И. Мешков (1961); В. Н. Спихтаренко (1959) использовал этот метод при расчете пластины, лежащей на упругом параллелепипеде.
    Другой подход к решению задачи о равновесии упругого параллелепипеда развит в работах Б. А. Бондаренко (1961, 1963), который использовал полиномиальные решения уравнений теории упругости в перемещениях, причем произвольные коэффициенты в этих решениях определяются по методу наименьших квадратов.
    Некоторые частные задачи для прямоугольного параллелепипеда, разрешимые в рядах, рассмотрены Г. М. Валовым (1959), А. П. Мелко-няном (1960), А. А. Баблояном и С. М. Саакяном (1964).
    Изучению задачи о равновесии параллелепипеда при помощи бесконечных систем посвящены две статьи Э. Н. Байды (1958, 1959). Более подробные исследования решения задачи о равновесии параллелепипеда при помощи бесконечных систем для разных типов нагрузки и различных краевых условий произведены в работах Г. М. Валова (1957—1959, 1966), С. М. Саакяна (1965), А. А. Баблоянаи С. М. Саакяна (1964); в этом цикле работ рассмотрены как первая и вторая основные задачи, так и некоторые-типы смешанных и контактных задач, причем особое внимание обращена на доказательства регулярности (или квази-вполне-регулярности) получаемых бесконечных систем.

    Тэги: , ,