Меню

  • На главную

Поиск

  • Задачи Сен-Венана и Альманзи

    Posted 7/26/2009 в 7:13:18 ПП

    В задаче о равновесии упругого тела при отсутствии массовых сил разыскиваются общие выражения (перемещений или напряжений), удовлетворяющие по возможности простым дифференциальным уравнениям и построенные так, чтобы уравнения теории упругости выполнялись в силу этих простых уравнений. Роль «простых» играют уравнения Лапласа и бигармоническое; при этом желательно иметь наименьшее   число функций.  Знание общих решений позволяет присоставлении частных решений уравнений теории упругости использовать хорошо известные «каталоги» решений «простых» уравнений в тех или иных координатах; однако краевые задачи теории упругости, конечно, несводимы, за исключением простейших (полупространство, кручение тела вращения и др.), к задачам типа Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа. Ограничение случаем отсутствия массовых сил несущественно, так как построение частного решения, соответствующего этим силам, возможно в общем случае и легко выполняется для их частных заданий (вес, центробежные силы и т. д.). Обзор ранних исследований по общим решениям дан П. Ф. Папковичем (1937); единый способ их построения, основанный на использовании тензора функций напряжений, предложил Ю. А. Крутков (1949).

    Составление интегральных уравнений пространственных краевых задач, преодоление трудностей, связанных с их изучением, доказательство существования и разыскание эффективных способов построения их решений — содержание многолетней работы В. Д. Купрадзе (1963) и его сотрудников.. Изложение методов и результатов этих исследований с подробной библиографией содержится также в монографии В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелейшвили и Т. В. Бурчуладзе, опубликованной в 1968 г.

    В книгах В. Д. Купарадзе (1963, 1968) рассмотрены интегральные уравнения и вопросы существования их решений не только для задач статики, но и для установившихся колебаний упругой среды. Рассмотрен и ряд других краевых задач, анизотропные и неоднородные среды, уделено место задачам термоупругости, задачам для ограниченного объема и бесконечной среды, снабженных несколькими полостями. Преодолен ряд трудностей, связанных с сингулярностью изучаемых интегральных уравнений; предложены простые по идее (но не по реализации) способы численного решения этих уравнений (В. Д. Купрадзе, 1964, 1967).
    Интегральное уравнение задачи 1(г) рассматривал в 1907 г. Дж. Дау-ричелла; Д. И. Шерман (1962) обобщил решение на случай упругого тела конечного объема с несколькими полостями.
    В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С. Г. Михлин, М. Г. Слободянский).

    Тэги: