Меню

  • На главную

Поиск

  • Плоская задача

    Posted 7/30/2009 в 9:17:52 ПП

    Значительно более трудны упруго-пластические задачи в условиях плоской деформации. Для уменьшения трудностей уже сама постановка здесь обычно упрощается. Именно принимается, что в пластической зоне  (если исходить из условия текучести Мизеса) материал несжимаем. Далее, рассматривается состояние, отвечающее конечным значениям нагрузок, не прослеживается «шаг за шагом» развитие упруго-пластического состояния по мере роста нагрузок. Между тем в этом процессе может наступать разгрузка в отдельных частях пластических зон. Поэтому невозможно сказать, каким ограничениям должны следовать нагрузки, чтобы было достигнуто рассматриваемое  конечное состояние. Тем не менее несомненный интерес представляют те немногие упруго-пластические задачи, решение которых удалось построить при отмеченных условиях.
    Некоторое представление о характере решения можно составить на основании аналогии с изгибом пластинки, обжимаемой на жестком теле, указанной Л. А. Галиным (1948).
    Для неодномерных упруго-пластических задач следует прежде всего назвать изящное замкнутое решение задачи о растяжении плоскости со свободным круговым вырезом, найденное Л. А. Галиным (1946); на бесконечности действуют растягивающие напряжения р и q в направлениях осей х я у. Предполагается, что пластическая зона полностью охватывает отверстие. Это накладывает некоторое ограничение на параметры нагрузки р, q. При решении существенно используется свойство бигармоничности функции напряжений в пластической зоне, примыкающей к круговому вырезу.
    При дополнительных условиях решение Л. А. Галина обобщено на случай пластически неоднородной среды, на случай неравномерного теплового поля. Некоторые новые результаты можно получить, используя метод малого параметра. Эти приемы, однако, не позволяют заметно расширить условия задачи.
    Приближенный прием решения упруго-пластических задач для плоскости с вырезом в обратной постановке (задается пластическая зона) развит П. И. Перлиным (1960).
    В работах Г. П. Черепанова (1963, 1964) также применяются методы теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения являются соответствующими вторыми производными от бигармонической функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упруго-пластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности Треска — Сен-Венана.
    В недавно опубликованных работах Б. Д. Аннина (1968) рассмотрена задача упруго-пластического распределения напряжений в плоскости с отверстиями.
    Отметим, наконец, мало разработанный круг вопросов, связанных с обобщенной плоской деформацией. Речь идет о равновесии длинных цилиндрических тел, испытывающих дополнительное осевое растяжение (в отличие от плоской деформации, когда перемещение по оси равно нулю). Для упругого тела эта задача сводится к случаю плоской деформации наложением надлежащего осевого растяжения. В упруго-пластических задачах необходимо рассматривать состояние обобщенной плоской деформации. Из задач этого типа подробно изучена лишь важная для приложений задача о толстостенной трубе под действием внутреннего давления и осевого усилия.